Contabilidade e Matemática para Negócios e Concursos

quinta-feira, 6 de outubro de 2016

Separatrizes com dados não agrupados

As Medidas de ordenamento e forma ou Separatrizes pode ser de duas formas, Agrupadas e Não Agrupadas. Vamos iniciar com as Separatrizes Não Agrupadas.

SEPARATRIZES

A -  Quartil - São chamados de quartis os 3 valores de uma série que a dividem em 4 partes iguais e, as quartis se dividem em três:
  1. O primeiro quartil = 25%;
  2. O segundo quartil = 50% (igual à mediana);
  3. O terceiro quartil = 75%.
B - Decil – São chamados de decis os 9 valores de uma série que a dividem em 10 partes iguais.

C -  Percentil – São chamados de centis ou percentis os 99 valores que separam uma série em 100 partes iguais.

Atenção: lembre-se do estudo da MEDIANA (quando se corta ao meio uma série, o resultado é a mediana), pois, há uma associação muito grande com as SEPARATRIZES, já que a mediada também é uma separatriz.

Vejamos os exemplos.

Quartis são separatrizes que dividem uma distribuição de dados ordenados em 4 partes iguais


QUARTIL

separatrizes


Observe que Q2 (segundo quartil) é igual à mediana da série (marca 50%). Não confunda as 4 partes com 4 cortes, pois, para termos 4 partes, fazemos apenas 3 cortes. Da mesma forma, com 9 cortes para formar as 10 partes do DECIL e também 99 cortes para formar as 100 partes do CENTIL.

DECIL
Divide a série em dez partes iguais.


separatrizes


Já aqui, pode-se observar que o quinto decil é igual ao segundo quartil, que também é igual à mediana (marca 50%).

PERCENTIL (ou CENTIL)
São os noventa e nove valores que dividem uma série em cem partes iguais.

separatrizes


Observe que o quinquagésimo centil é igual à mediana (marca 50%). 
Assim sendo, veja a baixo, a figura com todas essas separatrizes juntas e, veja que o meio de cada uma corresponde ao meio da outra.

separatrizes


Dessa forma, podemos concluir que a Md = Q2 = D5 = C50.


O procedimento para se encontrar qualquer que seja o QUARTIL é o mesmo procedimento para encontrar a MEDIANA. Porém, um grande problema observado, é que, mesmo a pessoa sabendo o que é Mediana, Quartil, etc., sempre acaba esquecendo que deve colocar os valores em ordem. É necessário sempre colocá-los em ordem, caso contrário, não dará certo.

Para ver a aplicabilidade, vamos fazer uns exercícios, onde iremos procurar a média, moda, Q1 (primeiro quartil), Q2 (segundo quartil) e Q3 (terceiro quartil).

1) Olhando a série, vamos calcular os itens acima mencionados:
{ 7, 2, 8, 10, 5, 13, 11} 

Observando novamente, percebemos que a série não está ordenada. Precisamos então fazer um ROL (colocar em ordem).
O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores:
{ 2, 5, 7, 8, 10, 11, 13}.


Para calcularmos a média, somamos todos os valores e dividimos pelo número de elementos, ou seja, 2+5+7+8+10+11+13=56/7=8
Média = 8.

A MODA ou valor modal é aquele que mais se repete e, como nesse exemplo não temos nenhum valor que se repete, então:
Moda = amodal (sem moda).

Ao observarmos novamente, percebemos que está em ordem, do menor para o maior e que, ao cortarmos ao meio, nosso corte passará sobre o 8, já que essa série é ímpar (7 elementos) logo ele será nossa mediana.

Mediana = 8.

Como a mediana é igual ao Q2, então:
Q2 = 8.

Para calcularmos o Q1, procederemos como se fôssemos encontrar a mediana do lado esquerdo do meio da série.

{2, 5, 7, 8, 10, 11, 13}

separatrizes


Para calcularmos o terceiro quartil, procedemos da mesma forma, só que do lado direito da série:

{2, 5, 7, 8, 10, 11, 13}


separatrizes

De forma que, é preciso lembrar que para calcularmos esse primeiro e segundo quartil, deve-se fazer igual como se faz para calcularmos a mediana em casos de números ímpares (cortando ao meio e o corte pega em cima de um) ou par (cortando, não passará em cima de nenhum, então, pega-se um de cada lado, soma-se e divide por dois)

Poderá haver situações em que será preciso ir além, por exemplo:

Quartis são separatrizes que dividem uma distribuição de dados ordenados em 4 partes iguais.

  1. No primeiro quartil 25% dos dados estão abaixo e 75% acima dele.
  2. No segundo quartil, 50% dos dados estão a baixo dele e 50% dos dados a cima dele.
  3. No terceiro quartil, temos 75% dos dados a baixo dele e 25% dos dados a cima dele.
A fórmula é dada por Qnq = X (nqn/4 + 0,5), ou seja, é o valor de X com o índice de X dado por (nqn/4 + 0,5), sendo n o quartil (pode ser 1º, 2º ou 3º) e qn o número de dados. Portanto, se tivermos 15 dados, o segundo quartil será: Q2 = X (2. 15 / 4 + 0,5), ou seja, Q2 = X (7,5 + 0,5), isto é, Q2 = X (8). Em outras palavras, o segundo quartil será o oitavo valor de 15 valores ordenados.

Da amostra a baixo de uma pesquisa feita com 15 consumidores que deram as seguintes notas a um produto, numa escala de 0 (zero) a 100:
65, 68, 70, 75, 80, 80 ,82 ,85, 88 ,90, 90, 95, 98, 100, 100.

  • Quartis - Dividem a distribuição em quatro partes iguais. Sua fórmula é: Qnq = X (nqn / 4 + ½);
  • Decis - Dividem a distribuição ordenada em dez partes iguais. Sua fórmula é: Qnq = X (nqn / 10 + ½);
  • Percentis - Dividem a distribuição ordenada em cem partes iguais. Sua fórmula é: Qnq = X (nqn /100 + ½).
Para se calcular o 3º Quartil usando sua fórmula:
Qnq = X (nqn / 4 + ½)
3   =   X (3 * 15 / 4 + ½) = X11,75
Q3 = X11,75
X11 = 90
X12   = 95

Por regra de três, temos:
0,75 ------------------1
X     ------------------ 5 (a diferença entre 90 e 95)

X = 5 * 0,25 = 0,75, logo somado a 90 temos X = 90 + 3,75 = 93,75

7º Decil:
Dnq = X (nqn/10 + 1/2)
D7 = X (7* 15 / 10 + 1/2) = X11
X = X11
X11 = 90

60º Centil
Cnq = X (nqn / 100 + 1/2)
C60 = X (60 * 15 / 100 + 1/2) = X 9,5
C60 = X 9,5
C= 88
C10 = 90
Por regra de três teríamos:
0,5 ----------- 1

X--------------2 (a diferença entre 90 e 88)
X=2 * 0,5 = 1 que, somado a 88 teremos X9,5 = 88 + 1 = 89.

70º Centil
Cnq = X (nqn / 100 + 1/2)
C60 = X (70 * 15 / 100 + 1/2) = X 11
C70 = X11
X11 = 90

80º Centil
Cnq = X (nqn / 100 + 1/2)
C80 = X (80 * 15 / 100 + 1/2) = X 12,5
C80 = X 12,5
X12 = 95
X13 = 98

Por regra de três teríamos:
0,5 ----------- 1
 X--------------3 (a diferença entre 98 e 95)
X=3 * 0,5 = 1,5 que, somado a 95 teremos X 12,5 = 95 + 1,5 = 96,5.


Se precisar fazer uma ponte com os quartis, leia sobre Mediana.
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