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quarta-feira, 12 de outubro de 2016

Razão, Proporção, e Porcentagem

Nesse artigo, dando início a nossos assuntos de revisão, veremos razão proporção e porcentagem.

Razão


Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b # 0, ao quociente entre eles. A razão de "a" para "b" é indicada da seguinte maneira:

a / b

Onde:

a => é o primeiro termo, sendo chamado de antecedente;
b => é o segundo termo, chamado de consequente.

Exercícios
A idade de João é 30 anos e a idade de Maria é 45 anos. Qual é a razão entre as idades de João e Maria?

R:razão de 30 para 45

Razão-de-30-para-45

Outro exemplo: imaginemos uma sala de aula com 20 meninas e 25 meninos. Vamos expressar o seguinte:

a) razão entre o número de meninos e o número de meninas
25/20 = 5/4
b) razão entre o número de meninas e o número de meninos:
20/25 = 4/5

Se quiséssemos expressar essa razão utilizando números decimais, dividiríamos o antecedente pelo consequente, veja:

1) 25/20 = 1,25                                         2) 20/25 = 0,8

RAZÃO CENTESIMAL = PORCENTAGEM (%)


1/100                   = 0,01    = 1%
25/100    =   1/4   =  0,25   = 25%
30/100    = 3/10   = 0,3      = 30%
50/100    = 1/2     = 0,5      = 50%
80/100    = 4/5     = 0,8      = 80%

O objetivo da razão é exatamente relacionar dados de certas situações, disponibilizando parâmetros de comparação através de números percentuais.

Então, vamos ver uma situação em que aparecem a utilização dessas porcentagens.
Sendo 4/5 a  razão entre a quantia que gasto e a quantia que recebo como salário por mês e, sabendo o que restante que me sobra, coloco em caderneta de poupança. Se neste mês meu salário foi de R$ 840,00, qual a quantia que aplicarei na caderneta de poupança?

Podemos fazer de várias maneiras, mas, vamos imaginar o seguinte: se ele gasta 4/5, então lhe resta 1/5.

Nessa situação, temos que calcular 1/5 do salário:
1/5 X 840 = 168 --> esses 168 correspondem a 20% do salário recebido. Isso é possível saber tanto dividindo o salário em 5 partes iguais e percebemos que cada parte é igual a 168 ou mesmo fazendo pela regra de três:

R$    -  %
840   =   100

168   =    x

Fazendo a multiplicação por cruz teremos 840x = 16800 --> x = 16800/840 --> x = 20%.

Mais exercícios:

1) Em um torneio de futsal foram marcados 441 gols no total. O time campeão, marcou 54 gols e sofreu 26. O artilheiro do time campeão marcou 20 gols.

De acordo com os dados do time campeão, estabeleça:

a) A razão entre o número de gols marcados pelo time campeão e o número total de gols do campeonato.
54/441= 6/49 ~ 0,12 ou 12 %.

b) A razão entre o número de gols marcados pelo artilheiro do time campeão e o número de gols que equipe marcou no campeonato.

20/54 = 10/27 ~ 0,3707 ou 37,03%.

c) A razão entre o número de gols sofridos pelo time campeão e o número de gols que a equipe marcou no campeonato.

26/54 = 13/27 ~ 0,4815 ou 48,15%.

Veja mais sobre porcentagem em detalhes


PROPORÇÃO

A igualdade entre razões, é o que chamamos de proporção.

Proporção
No caso da figura ao lado,dizemos que a está para b assim como c está para d. É possível afirmar também que, em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios e vice-versa.
Proporção-extremos-e-os-meios


Perceba que 9 x 4 = 12 x 3 => 36 = 36.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Quando de duas grandezas variáveis, serão diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra acompanha nesse aumento ou redução, na mesma razão.

Por exemplo:

1/2  =  2/4  =  4/8...

O perímetro da área quadrada ou retangular é a medida dos lados, então, como exemplo, perceba que ao aumentar a medida dos lados, o aumento no perímetro se dar de forma diretamente proporcional.


 Medida do lado de um quadrado

 Perímetro de um quadrado
4
 16

6

 24

8

 32


GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

São inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas numa determinada razão, a outra diminui na mesma razão e vice versa.

Por exemplo:

Supondo que um veículo vá de uma cidade a outra. Trafegando a 60 km/h, o percurso será feito em duas horas. Porém, se a velocidade for de 80 km, o tempo estimado para percorrer o mesmo trajeto será de 1,5 h.


 Percursos iguais

 K/h praticado pelo mesmo veículo

 tempo em horas

 1

 60

 2

 1

 80

 1,5


À medida que aumenta a velocidade, o tempo cai e por isso se diz que essas grandezas são inversamente proporcionais. (“velocidade” e“tempo” são grandezas inversamente proporcionais).

REGRA DE TRÊS

A Regra de Três tem como princípio, a proporção. Assim, Regra de Três é uma regra prática que permite a comparação de grandezas proporcionais e, dessa forma, a resolução de diferentes situações-problema do dia-a-dia nos são permitidas através da Regra de Três.

Como necessitamos de pelo menos duas grandezas para formar uma proporção, então, já teremos aí ao menos 4 termos, dentre os quais, três são conhecidos, nos restando através da através da Regra de Três, encontrar o quarto termo.

Exemplo:

1) Um tecelão levou 12 horas para produzir um tapete, à razão de 6 metros por hora. Se ele trabalhasse à razão de 9m/h, quanto tempo teria levado para tecer o mesmo tapete?

Regra-de-três

O ponto x da questão é dominar a pergunta, veja:

A 6 m/h fez em 12 horas. Será que aumentando para 9 m/h, ele ainda vai precisar das mesmas 12 horas? Se está produzindo o tapete fazendo mais rápido?

Com certeza esse tapete deve ficar pronto antes, já que no mesmo tempo, 1 hora, antes ele fazia 6 metros e agora faz 9 metros. Com isso, podemos afirmar que ele não irá necessitar de todas as 12 horas para produzir o tapete.

Observamos então que o "x" será menor que 12, porém, percebemos que na outra razão, a seta indica que cresceu para baixo, indicando que são inversas.

Então, tome por base a grandeza que tem a incógnita e passa-se a comparar as demais, caso tivesse mais grandezas (compostas). Veja que ao rescrevê-las, tivemos que inverter a grandeza que estava inversa proporcionalmente para que pudéssemos ter uma igualdade e resolver a equação simples.

Observação: Ao fazer sua pergunta, detectar que as grandezas são diretas, já poderá resolver a igualdade sem ter que inverter nenhuma grandeza, pois, se trata de grandezas diretamente proporcionais.


PORCENTAGEM

Porcentagem é uma razão centesimal,  onde o consequente é substituído pelo símbolo %, chamado “por cento”.

É necessário que se entenda o conceito e também ao menos um pouco de prática na resolução de operações com frações para facilitar o trabalho com porcentagens.

Vamos ver alguns exemplos de resolução de exercícios envolvendo porcentagens:

Calcular:

a) 20% de 300 => 20/100  .  300 => Tanto posso multiplicar 20 por 300 e dividir por 100 como também, primeiramente dividir 20 por 100 e o seu resultado, multiplicar por 300. O resultado será sempre 60. Em casos como esses, seria mais fácil ainda, se antes fizesse o cancelamento dos "00" dos cem "consequente", com os "00" dos trezentos "antecedente" da outra fração", veja:

Porcentagem

Porcentagem Supondo que no lugar de 300 unidades quaisquer, fosse dado um valor monetário, por exemplo, R$ 150, R$1700, R$190.000..., o procedimento seria o mesmo.

É claro que esse é apenas um dos mais simples exemplos, pois, esse assunto vai longe, com questões desde pequenos à grandes níveis de dificuldades.
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