Contabilidade e Matemática para Negócios e Concursos

terça-feira, 11 de outubro de 2016

Probabilidade

O estudo da probabilidade existe por haver certas situações em que precisamos prever  a possibilidade de ocorrência de determinados fatos.

Probabilidade

Esse estudo está ligado à experiências aleatórias, no entanto, poderá ser que seu resultado seja conhecido antes que a experiência seja efetivamente realizada e o seu resultado observado.

Experimento Aleatório 

Experimentos cujos resultados podem apresentar variaçõesmesmo quando realizados em condições praticamente iguais.

Ex.:
  • Lançamento de um dado (p = 1/6)
  • Observação do sexo de recém-nascidos (p = 1/2)
  • Lançamento de uma moeda (p = 1/2)
  • Jogar duas moedas (p = 1/4) => um quarto porque, nesse caso, temos as seguintes possibilidades nos espaço amostral (CC, CK, KC, KK) onde,C = cara e K = koroa.
Espaço Amostral ( S )

Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Ex.: S1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } => lançamento de um dado;
       S2 = { M, F } => nascimento de um bebê;
       S3 = { C , K } onde, C = cara K= coroa => lançamento de uma moeda;
       S4 = { CC, CK, KC, KK }=> lançamento de duas moedas.

Evento

É qualquer subconjunto do espaço amostral, geralmente demonstrado por letras maiúsculas, por exemplo, ao lançarmos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento.
Exemplo:
Probabilidade-lancamento-de-dados
No lançamento de um dado poderá ocorrer um das possibilidades do conjunto “S”:
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

Qual a possibilidade de sair face” par”?

R: Lançando um dado podemos ter como resultado:
1 – 2 -3
4 – 5 – 6

Percebemos que podemos tem como resultado “par”, um dos números (2, 4, 6), logo, temos 3 chances de 6 possíveis, uma vez que o nosso espaço amostral é 6, pois, o dado tem seis lados. 

Então ficaria assim: 3/6 => 1/2
Suponha que uma experiência aleatória tem apenas um número finito de resultados possíveis.

Seja “A” um evento associado a essa experiência aleatória. Então a probabilidade do evento “A” é dada por:

P(A) = N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A
                  N. º total de casos possíveis

A probabilidade de um evento ocorrer (Luís voltar para casa primeiro) considerando-se um espaço amostral (Pedro, João e Luís) é igual a razão do número de elementos do evento (1, apenas Luís) para o número de elementos do espaço amostral (3, o número de irmãos que foram brincar na rua), desde que o espaço amostral seja um conjunto equiprovável, ou seja, todos os seus elementos tenham a mesma possibilidade de ocorrer (as condições de retorno para casa são as mesmas para os três irmãos).

=> Perceba que o espaço amostral apresenta 3 casos possíveis, pois, são três irmãos e, todos com as mesmas chances. Mas, ao escolher apenas Luiz e, ele é um dos três, logo, será 1/3.
Outros exemplos:
Lançamento de um dado
Probabilidade de:
a) Número par acima de 3
Possibilidade de ocorrer (4, 6) e o espaço amostral = (1, 2 ,3 ,4, 5 e 6). Então, temos 2 chances de 6 possíveis, logo, apresentaremos como 2/6 = 1/3 = 33,33%
b) Número menor do que 5 
Possibilidade de ocorrer (4, 3, 2, 1) e, espaço amostral (1, 2 ,3 ,4, 5 e 6). Então, será representado pela fração 4/6 = 2/3 = 66.67%
c) Número ímpar maior que 2
Possibilidade de ocorrer (3, 5) e o espaço amostral = (1, 2 ,3 ,4, 5 e 6). Logo, será representado pela fração 2/6 = 1/3 = 33,33%.
Lançamento de duas moedas
Para as probabilidades pedidas nas letras a, b e c, abaixo, é preciso antes definir o espaço amostral, ou seja, (CC, CK, KC, KK) => onde; C= cara e K= coroa.
Com isso, qual a probabilidade de:a) ao menos uma seja cara
Observando o espaço amostral acima, temos C em 3 situações das 4 possíveis, logo, teremos 3 chances de 4 possíveis. 3/4 = 75%
b) duas coroas
Para que tentemos obter 2 coroas, somente um chance é observada entre as 4 possíveis desse espeço amostral. Então 1/4 = 25%.
c)uma cara
Para encontrar apenas um cara nesses dois dados, percebemos que há 2 chances entre as 4, onde será representado por 2/4 = 1/2 = 50%.
Praticando

1) Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número divisor de 6?

R: O espaço amostral do lançamento de um dado é:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Como estamos interessados apenas nos resultados divisores de 6, o evento “E” é representado por:

E = { 1, 2, 3, 6 }, então n(E) = 4 e n(S) = 6.
Esse resultado pode ser apresentado também na forma de uma porcentagem: A probabilidade de se obter um número divisor de 6 é 4/6 = 2/3 ou 66,67%.

2) Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade de obtermos um número menor que 3 e maior que 4?
Como sabemos neste exemplo o espaço amostral é composto de seis elementos:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Chamemos de A o evento que representa a ocorrência de um menor que 3:
A = { 1, 2 }

Vamos chamar de B o evento que representa a ocorrência de um número maior que 4:

B = { 5, 6 }

Como o número de elementos de S é 6, temos que n(S) = 6.

Para A temos n(A) = 2 e para B temos também n(B) = 2.

Portanto: A probabilidade de obtermos um número menor que 3 e maior que 4 é 4/ 6 que, é igual a 2/3.

Outros exercícios

1) Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade de obtermos um número primo ou um número ímpar?
a) 2/3  
b) 1/3
c) 1
d) 1/2

R: Percebemos que o espaço amostral de um dado é (1, 2, 3, 4 5, 6) e que, dos eventos possíveis de acontecer e que é pedido no problema temos (1, 2, 3, 5), onde, todos são primos e que ainda 1,3 e 5 são ímpares, porém, como o 2, apesar de ser primo não poderá fazer parte dos eventos, pois ele é número par. Então temos como válidos, apenas 1, 3 e 5, nos dando assim 3 chances de 6 possibilidades, ou seja 3/6 =2/3.

2) Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650 deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard?

a) 4/11
b) 6/11
c) 1
d) 2/8

Probabilidade-probabilidade
R: Na figura ao lado demonstra como que se chegou a essa resposta. 
Perceba que os 200 suários representam aqueles q usam as duas bandeiras e, no conjunto “m” temos aqueles que usam master e no conjunto “v” temos aqueles que usam visa. Os que usam a bandeira visa são 200 + 350 = 550 e os que usam as duas bandeiras são 200. Então 200/550 é a fração que representará esse problema. Cortando-se os zeros, teremos 20/55 que, dividido por 5 teremos 4/11.
3) Um jovem casal pretende ter 3 filhos.
a)Qual é a probabilidade de que tenham pelo menos uma menina?
b) Qual é a probabilidade do jovem casal vir a ter tanto meninos quanto meninas?
c) Qual é a probabilidade de que venham a ter mais meninas que meninos?

Devemos primeiramente  traçar a Capacidade de espaço amostral:
1ª situação
M  M  M
M  M  F
M  F   M
M  F  F
2ª situação
F   F  F
F   F  M
F  M  F
F  M  M

Chegamos a esse número de possibilidades, ou seja, 8, considerando que o número de eventos possíveis, que são apenas 2 ou seja, masculino e ou feminino e que o número de filhos é igual 3. Daí, eleva-se 23 = 8.

Na pergunta a), não se pode entrar a possibilidade M M M, haja visto que se houver não terá possibilidade de haver um menina. Então, nas demais possibilidades poderá haver pelo menos uma menina e são, 7 oportunidades, nos trazendo uma fração de 7/8 ou 87,5% de chance.
Na pergunta b), não podemos ter nem M M M e nem F F F, nos restando 6 eventos possíveis de acontecer dentre as 8 possibilidades. Então fica 6/8 3/4 ou 75%.
Na pergunta c), nesse caso não entrarão M  M  M – M  M  F – M  F   M e nem F  M  M, nos restando apenas 4 eventos dentre as 8 possibilidades. Então, ficará da seguinte forma: 4/8 = 1/2 ou 50%.
4) No lançamento de um dado qual é a probabilidade de obtermos um 3 ou um 5?
2/6  = 1/3 ou 33,33%
Nesse caso foram duas hipóteses. Então, temos que, essas hipóteses já são os eventos dentre as 6 possibilidades.

5) Em lançamentos sucessivos de um dado qual é a probabilidade de obtermos um 3 e depois um 5?
1/6  x  1/6  =  1/36Supondo que o dado seja lançado 2 vezes e que, no primeiro possamos ter um três, isso nos dar uma fração de 1/6 e que, no lançamento seguinte possamos ter 5, isso também nos dar uma fação de 1/6, pois em ambos os lançamentos teremos um evento dentre as seis possibilidades que dado oferece.
Em seguida devemos multiplicar essas frações para que encontremos a probabilidade pedida, ou seja, 1/36.
6) No Lançamento de 2 dados, qual a probabilidade:

a) soma 10
b) soma maior que 5
c) soma 8, sendo os valores de cada dado ao menos de 3
Vejamos os lançamentos

1-1    2-1    3-1    4-1    5-1    6-1
1-2    2-2    3-2    4-2    5-2    6-2
1-3    2-3    3-3    4-3    5-3    6-3
1-4    2-4    3-4    4-4    5-4    6-4  
1-5    2-5    3-5    4-5    5-5    6-5
1-6    2-6    3-6    4-6    5-6    6-6

Na letra a) temos de amarelo os eventos possíveis de acontecer dentre as 36 possibilidades. Então teremos 3/36 = 1/12 ou 8,33%
Na letra b), temos tantos os amarelos como os verdes e azuis sendo maiores que cinco, então temos 26 chances dentre as 36 de haver soma maior que 5. Nesse caso teremos 26/36 ou 72,22%
Na letra c). Nesse caso, devemos tirar fora os valores dos dados quando estes forem menores que 3, e, também, observar se a soma dar 8. Verificando as possibilidades, percebemos que somente 3 (azuis) dentre as 36 se encaixam no que pede a letra c), pois, até tem outras somas que dão 8, mas há pelo menos um dos seus dados que apresenta valor menor que 3. Então fica 3/36 = 1/12 ou 8,33%.

Exercício Extra
Somente para irmos um pouco mais além, poderíamos também verificar por exemplo, a soma dos valores que apresentem de 5 a 7.
Observando as 36 possibilidades, verificamos que que há 4 somas iguais a 5, de laranja, 5 somas iguais a 6, de verde e mais 6 somas iguais a 7, de verde.

Então teremos (4+ 5 + 6)/36 = 15/36  =  5/12   = 41,67%
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