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terça-feira, 11 de outubro de 2016

Revisão de Potenciação, Radiciação e Fatoração

Procuraremos nesse artigo, revisar um pouco de Potenciação, Radiciação, Intervalos Numéricos e Fatoração para que possamos trabalhar melhor nos assuntos dos próximos artigos que virão.

Revisão de Potenciação, Radiciação e Fatoração


Potenciação

Potenciação-Termos-da-potência
Potenciação ou Exponenciação significa multiplicar um número real (base) por ele mesmo X vezes, onde X é a potência (número natural).



Base positiva

Tanto faz o expoente ser ímpar ou par, teremos uma potência positiva.

Potenciação-Base-Positiva-teremos-uma-Potência-Positiva

Base Negativa

Com expoente par teremos uma potência positiva.

Potenciação-Base-negativa-e-expoente-par-teremos-uma-Potência-Positiva

Com expoente ímpar teremos uma Potência Negativa.


Propriedades da Potenciação

Produto de potência de mesma base

Perceba o modo como faríamos a multiplicação de potência de mesma base abaixo, no caso de não utilizarmos essa propriedade:

32 . 33 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 35 = 243. 

Já para o caso de nos valermos da propriedade de produtos de mesma base, fazemos o seguinte: sendo um produto de bases iguais, vamos tão somente repetir a base e somar os expoentes.

32 . 33 = 32+3 = 35 = 243.

Quociente de potência de mesma base Caso não utilizássemos essa propriedade, para fazer o cálculo do quociente com potência 84 : 82, iríamos fazer da maneira mostrada abaixo:

84 : 82 = 4.096 : 64 = 64

Haverá mais facilidade ao e utilizar da propriedade do quociente de mesma base, veja que, como as bases são iguais, basta repetir a base e subtrair os expoentes.

84 : 82 = 84-2 = 82 = 64

OBS.: O que precisa ficar em mente para os dois casos, é que, sendo com bases iguais, no caso de multiplicação, somam-se os expoentes e, se for divisão, subtraem-se os expoentes.

Potência de Potência

Para potência como (52)3por exemplo, devemos em primeiro lugar resolvermos a potência de dentro dos parênteses e depois e, partindo do resultado obtido, o elevamos ao expoente de fora, veja:

(52)3 = (5.5)3  = 253 = 25 . 25 . 25 = 15.625

Mas, ao aplicar a propriedade de potência, simplificaremos a resolução, mantendo a base e multiplicarmos os dois expoentes:

(52)3  = 52.3  = 56 = 15.625

Multiplicação de Potências de mesmo expoente Teremos uma potência, cuja base, será obtida pelo produtos das bases em questão e, seu expoente, será igual aos expoentes das potências dadas.

53 . 8= (5 . 8)= 403  = 64.000

Divisão de Potência de mesmo expoente

Duas potências com bases diferentes e expoentes iguais, em se tratando de divisão, resultará em uma potência cuja base é o quociente das bases, ficando seu expoente, igual aos expoentes das potências dadas.

83 : 43  = (8 : 4)3 = 23 = 8


Radiciação

Radiciação é a operação inversa da potenciação.

Radiciação
Radiciação-e-Potência

Propriedade dos Radicais

Propriedade-dos-Radicais


Apenas Radicais iguais (semelhantes) podem ser somados e ou subtraídos.

Soma-e-Subtração-de-radicais

Racionalização de denominadores

Tendo uma fração cujo denominador é um número irracional, para Racionalizá-la, devemos encontrar uma fração equivalente a ela, com denominador racional.

Pra tanto, multiplicamos ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais.

Racionalização-de-Denominadores

O maior objetivo aqui, é eliminar o Radical do denominador


Intervalos Numéricos


Relembrando que intervalos podem ser abertos, fechados, aberto de um lado e fechado do outro e vice versa, pois, nesses casos, dependerá do sinal, ou seja, <, >,≤ ou ≥. Por exemplo, no primeiro caso da figura abaixo, supondo que queiramos um "x" > -3Veja bem, maior e não ≥

Nesse caso perceba que a bolinha do -3 está aberta, querendo dizer que o "x" é apenas maior que -3 e em diante, como mostra a parte em negrito. Nesse caso, o 3 não entra naquilo que representa "x". Já no segundo caso, perceba que a bolinha no ponto 3 está preta, querendo dizer que o -3 também entrará naqueles valores de "X" e, nesse caso 2ºo x ≥ -3, diferentemente do 1º caso, onde x > -3 (apenas maior)

Intervalos-numéricos

Já no 3º caso, na figura abaixo, veja que tanto a bolinha no -3 como do 4 estão abertas, indicando que o "x" se encontra eles, porém, eles não entram nesses valores, pois, o -3 < x < 4, ou seja, os sinais indicam que é maior que -3 e menor que 4, não sendo nem igual a um e nem a outro.

Já no quarto caso 4º, a bolinha do -3 permanece aberta, indicando que ele continua de fora, mas que a bolinha do 4 fechou, ou seja, indicando agora que o X continua maior que -3, porém, menor ou igual ( ≤ ) a 4.


Intervalos-numéricos-aberto-e-fechado


Fatoração


Fatorar um polinômio

Para fatorarmos um polinômio (quando for possível), o escrevemos na forma de um produto de dois ou mais polinômios.

Tipos de fatoração:
  • Fator Comum
  • Diferença de Quadrados
  • Trinômio Quadrado Perfeito

Fator Comum

Colocamos o termo comum em evidência após percebermos que na dada expressão algébrica (polinômio) ele aparece em todos os termos do polinômio. Por exemplo, na expressão algébrica abaixo, percebemos que o 2a está aparecendo tanto no primeiro coo no segundo termo. Então ele é o FATOR COMUM e, é ele que será colocado em evidência (destacado) e os dois termos será dividido por ele e seus resultados colocado nos parênteses.

Fator-comum-aos-dois-é-o-2a

Veja abaixo como surgiram os valores do parêntese, ou seja, da divisão de ambos os termos pelo fator comum 2a.

Fator-comum-aos-dois-é-o-2a-e-dividindo-os-dois-termos

Diferença de dois quadrados

Diferença-de-dois-quadrados
Diferença-de-dois-quadrados-resolvido

Já a forma fatorada para a situação da figura a direita será (5x – 3).(5x + 3). Perceba ainda que, tanto no primeiro membro temos um quadrado como também no segundo membro. Se não houvesse em ambos os membros, não teríamos uma diferença de dois quadrados.

Quadrado da soma de dois termos

Quadrado-da-diferença-de-dois-termos

Sendo assim, podemos dizer que, o que temos no primeiro membro (a + b)2, é a forma fatorada da expressão que se encontra no segundo membro.

Quadrado da diferença de dois termos

Quadrado-da-diferença-de-dois-termos-1

Sendo assim, podemos dizer que, o que temos no primeiro membro (a - b)2, é a forma fatorada da expressão que se encontra no segundo membro.

Trinômio quadrado perfeito

Trinômio => expressão algébrica composta por três termos.
Quadrado perfeito => resultado da multiplicação de dois fatores iguais.
Trinômio-quadrado-perfeito

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