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quarta-feira, 12 de outubro de 2016

Limite de uma Função

Ao utilizarmos o limite de uma função, estamos com isso querendo expor o comportamento da função em questão, para observarmos em determinados momentos a aproximação de determinados valores.

Percebe-se que o limite de uma função apresenta significativa importância no cálculo diferencial, bem como, em outros ramos da análise matemática, definindo derivadas e continuidade de funções.

Limite de uma Função


Se em uma função f(x), tendo um ponto b do domínio como mostra a figura abaixo, dizemos que o limite da função é L quando "x" tende a b pela direita se, à medida que x se aproxima de b pela direita, os valores de f(x) se aproximam de L.

Limite-de-uma-Função
 
Dizemos que o limite da função é M quando "x" tende a b pela esquerda se, à medida que x se aproxima de b pela esquerda, os valores de f(x) se aproximam de M.
 
Limite-de-uma-Função-Limite-de-uma-função-M
 
Caso L= M, ou seja, os limites laterais sendo iguais, dizemos que existe o limite de f(x) quando x tende a "b".

Quando os limites laterais são distintos, dizemos que não existe o limite de f(x) quando x tende a b.
 
Limite-de-uma-função-M-L

Dada a função f(x) = 3x + 5, determine a sua imagem à medida que o valor de x tende a 2.

Limite-de-uma-Função-Resolução-do-Limite-de-uma-função 
Limite de uma Função
Vamos determinar o limite da função f(x) = x² – 5x + 5, quando x tende a 4.
lim x² – 5x + 5
lim 4² – 5(4) + 5
lim = 1


Ouve até aqui apenas formas definidas, porém, poderá haver limites com formas indefinidas, onde, com a simples substituição vista anteriormente, o denominado nos trará um "zero" e, como não podemos dividir por zero, temos que encontrar algo mais lógico.

Por exemplo:



Limite-de-uma-Função-Formas-indeterminadas
Limite de uma Função
No primeiro caso acima, onde temos x² – x -12, se somente substituirmos o 4 pelo "x", teremos zero no denominador e, nesse caso, não será possível tal divisão. 

Então, usando de forma lógica, perceba que o trinômio x² – x -12 é igual ao produto dos dois binômios (x-4) (x+3), de forma que assim já foi possível continuar, fazendo o cancelamento do x-4 no denominador com x-4 do denominador. Após isso, nos restou 1/x+3, sendo assim possível prosseguir com a substituição de "x" pelo "4".

No segundo caso, temos uma diferença de quadrados e, como no denominador, percebemos que, também irá zerar se substituirmos "X" por três, então, não podemos de imediato fazer isso, devendo primeiro, fatorar a diferença de quadrados, para fazermos os devidos cancelamentos e só depois prosseguirmos com a substituição.
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