Contabilidade e Matemática para Negócios e Concursos

terça-feira, 11 de outubro de 2016

Distribuição normal

Em artigo passado, já foi dado início a esse assunto de distribuição normal, quando vimos Intervalo de Confiança. Nesse artigo que segue agora, vamos dar continuidade e procurar entender melhor:
  • Reconhecer a Distribuição Normal;
  • Cálculos utilizando a Tabela de Probabilidades da Curva Normal Reduzida.
Muitas vezes se trabalha com valores acima da média ou abaixo da média, outras vezes trabalhamos com valores que possuem outros intervalos e, por isso, necessitamos utilizar a tabela a baixo. Onde usaremos a coluna da esquerda e também a linha com os valores decimais, onde, servirão para nos orientarmos na nossa procura. A intersecção desses valores vai nos dar um percentual em relação a média, para que assim, seja possível encontrarmos os valores que procuramos.


Tabela da Curva Normal Reduzida


tabela-da-curva-normal-reduzida

Na prática, usaremos valores dessa tabela para encontrarmos o valor de "Z" da fórmula a baixo, quando for o caso. Em casos de questões exigindo a busca de dados contidos nessa tabela, ou ela será oferecida ou a questão formulada já trará o valor de "Z".


Transformando uma normal qualquer em uma curva normal reduzida



Calculando-se o z equivalente aos limites desejados utilizando a fórmula abaixo, poderemos transformar uma curva normal em uma curva normal reduzida, :
formula-para-transformar-uma-curva-normal-em-uma-curva-normal-reduzida
x = ponto que se deseja converter em z ;
μ = média da normal original;
σ = desvio padrão da normal original.

1. Supondo um grupo de 20 pessoas onde sua idade segue uma distribuição normal e que, a média de idade desse grupo é de 50 anos e o desvio-padrão é igual a 3.
a) Qual a probabilidade de existirem pessoas com idade menor que 50 anos?
b) Qual a probabilidade de existirem pessoas com idade maior que 50 anos?
distribuição-nrmal-media-de-50-por-cento-pra-cada-lado

Trabalhando com dados acima e a baixo da média, fica fácil no momento que visualizamos a curva. Assim sendo, olhando para a figura ao lado, percebemos que ela responde às perguntas "a" e "b", onde, se 50 anos é a média, então há 50% de chance de haverem pessoas com menos de 50 anos e 50% de chance de haverem pessoas com mais de 50 anos.

Quando se tem que trabalhar com outros intervalos diferentes do que sejam apenas a cima ou a baixo da médio, temos que recorrer à tabela da curva normal reduzida. Pois, sem a tabela, não temos como trabalhar outras áreas sob a curva.

formula-para-transformar-uma-curva-normal-em-uma-curva-normal-reduzidac) Qual a probabilidade de uma pessoa possuir uma idade entre 50 e 59 anos.

Seguindo novamente à fórmula temos: Z = x - μ / σ

Onde: Z = 59 - 50 / 3 => Z = 9 / 3 => Z = 3

Como a probabilidade de z entre "0" e  "3" é 0,4987 que, foi verificado na coluna da esquerda na tabela, no seu final. Não havendo outras casas decimais e, considerando o "zero" na linha correspondente, encontramos no ponto em a que a coluna se encontra com a linha, o valor de 0,4987 que multiplicando por 100, teremos 49,87 % de probabilidade  de que haja pessoas entre 50 e 59 anos.

Observe que, a média é 50 anos.

Então podemos ter 50% a cima de 50 anos. Temos ainda 49,87% entre 50 e 59 anos. Então, trazendo a porcentagem de 50% e 49,87% para seus valores decimais e fazendo a subtração temos:
0,5 - 0,4987 = 0,0013 que, em porcentagem, teremos a probabilidade de ,013 % de pessoas a cima de 59 anos.

2. Supondo uma avaliação de Estatística em que observamos a média sendo 6,0 com desvio padrão de 1,5.

a) Qual a probabilidade de existirem notas menores que 6,0?
b) Qual a probabilidade de existirem notas maiores que 6,0?

Para esses casos de "a" e "b", segue-se o mesmo que foi feito na questão anterior, ou seja, sendo a média o valor 6,0, obviamente que temos 50% de chance de notas a baixo e 50% de chances de notas a cima dessa média.

c) Qual o percentual de alunos com média abaixo de 5,25?

Z = 6,0 - 5,25 / 1,5 --> = 0,5, onde 6 é a média, 5,25 é o ponto em que se quer chegar e 1,5 é o desvio padrão. Verificando o ,5 na coluna da esquerda da tabela e, não tendo casas decimais, vamos considerar para a linha o "zero", dessa forma o valor no ponto que se cruzam é 0,1915 = 19,15% em relação a média ou seja, esse porcentagem aí é entre os 5,25 e a média 6, já calculados pela fórmula, porém, para a resposta, temos que pegar os 50% abaixo da média e subtrair esses 19,15% e o que sobrar, é aquilo que vai estar abaixo de 5,25
50 - 19,15 = 30,85%.
distribuição-normal-Valor-que-queremos-esta-em-negrito
  
d) Qual o percentual de alunos com média acima de 7,5?

Segue o meso raciocínio da anterior, só que pro lado contrário da curva.

Z = 7,5 - 6,0 / 1,5 = 1

Verificando na tabela, o número, na coluna da esquerda e, sem a presença de casas decimais e por isso considerando o zero na linha, temos no ponto de cruzamento o valor de 0,3413 ou 34,13%. Porém, esse valor de 34,13% se encontra entre 6 e 7,5. 

Então para saber quem está acima de 7,5, fazemos 50% - 34,13 = 15,87. Portanto temos 15,87% de notas a cima de 7,5.


distribuição-normal-valor-que-queremos-esta-em-negrito-que-representa-valores-a-cima-de-75

Distribuição normal
e) Qual o percentual de alunos com média acima de 4,5?

Z = 6 - 4,5 / 1,5 = 1. A mesma situação da questão anterior em relação ao valor que esse 1 nos dará na tabela, ou seja 34,13%. Veja bem, esse valor está entre o 4,5 e 6. Então se é a cima de 4,5, podemos pegar seu valor de 34,13 + 50 que é referente aquelas que já a cima da média, totalizando 84,13%.


distribuição-normal-valor-que-queremos-esta-em-negrito-que-representa-valores-a-cima-de-45
Distribuição normal
f) Qual o percentual de alunos com média entre 4,5 e 7,5?

Primeiro é calculado o valor entre 4,5 e a média, que é 6. Depois calculamos o valor entre a média 6 e 7,5 e, no final somamos os dois valores encontrados e ele será nossa resposta.  
Z = 6 - 4,5 / 1,5 = 1. A mesma situação da questão anterior em relação ao valor que esse 1 nos dará na tabela, ou seja 34,13%. Veja bem, esse valor está entre o 4,5 e 6.

Z = 7,5 - 6,0 / 1,5 = 1. Verificando na tabela, o número, na coluna da esquerda e, sem a presença de casas decimais e por isso considerando o zero na linha, temos no ponto de cruzamento o valor de 0,3413 ou 34,13%. Porém, esse valor de 34,13% se encontra entre 6 e 7,5

distribuição-normal-valor-que-queremos-esta-em-negrito-que-representa-valores-a-entre-45-e-75
Distribuição normal
De forma que 34,13% + 34,13% = 68,26% das notas se encontram entre 4,5 e 7,5.


Continue Praticando:

Questão do exame de suficiência para Bacharel em Ciências Contábeis de 2011.1

1 - A quantidade diária de unidades vendidas do produto X em uma determinada indústria segue uma distribuição normal, com média de 1.000 unidades e desvio padrão de 200 unidades. O gráfico abaixo representa a distribuição normal padrão com média igual a 0 (zero) e desvio-padrão igual a 1 (um), cujas percentagens representam as probabilidades entre os valores de desvio-padrão.  


Com base nas informações fornecidas, é CORRETO afirmar que:
  1. a probabilidade de a quantidade vendida ficar abaixo de 800 unidades é de 34,13%. 
  2. a probabilidade de a quantidade vendida ficar acima de 1.200 unidades é de 13,6%. 
  3. a probabilidade de a quantidade vendida ficar entre 800 e 1.200 unidades é de 68,26%.
  4. a probabilidade de a quantidade vendida ficar entre 800 e 1.200 unidades é de 31,74%. 

Resolução:

Média da população =>µ => 1.000

Desvio padrão da população => s => (-3, -2, -1 ou 1, 2, 3)

Os percentuais que podem ser encontrados são os seguintes:

µ ± 1 s = 68,26%
µ ± 2 s = 95,44%
µ ± 3 s = 99,74%

Ou seja, esse ± está sempre considerando os percentuais da esquerda e da direita da média (µ).

Por exemplo, no caso de 1 S, serão 34,13% de cada lado e por isso, 68,26%. O mesmo vale para 2 S e 3 S.

Assim, teremos:

µ ± 1S, com µ = 1.000 e S = 200

Substituindo, temos:

1000 - 200 <= 68,26% <= 1000+200
800 <= 68,26% <= 1.200

A probabilidade de a quantidade vendida ficar entre 800 e 1.200 unidades é de 68,26%.

A questão termina aqui, mas, se quiséssemos ir adiante e, fazer uso da tabela da curva reduzida, poderíamos então, calcular o "Z".

Sua fórmula é:

Z = x - µ
        s
Os dois pontos que se deseja converter em "Z" são 800 e 1.200.

Z = 800 - 1000
           200

Z = -1 (para essa busca, não importa o sinal negativo e, suas casas decimais seriam completadas com "00". Olhando na tabela encontraremos para "1", 34,13%)

Z = 1200 - 1000
           200

Z = 1 (Suas casas decimais seriam completadas com "00". Olhando na tabela encontraremos para "1", 34,13%)

A soma dos percentuais encontrados são exatamente 68,26%.

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