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terça-feira, 11 de outubro de 2016

Distribuição Normal Reduzida – exercícios

Denomina-se distribuição normal reduzida a distribuição normal de média zero e variância 1. As probabilidades associadas à distribuição normal reduzida são facilmente obtidas em tabelas. Daí o interesse em estudar esse tipo particular de distribuição.

Intevalo-de-confiança-curva-reduzida

Distribuição Normal Reduzida
Distribuição Normal

Tabela de Distribuição Normal

tabela-da-curva-normal-reduzida

Distribuição Normal Reduzida


Distribuição Normal Reduzida

Considere uma turma de distribuição normal de notas de 5,5. Sendo o desvio padrão de 0,5. Calcule o percentual de alunos que obtiveram nota:A) entre 5 e 6;

B) acima de 6;
C) abaixo de 5.

formula-para-transformar-uma-curva-normal-em-uma-curva-normal-reduzida
Na letra a), já podemos dizer que a média é 5,5. Para calcularmos o Z usamos a fórmula ao lado, ou seja, Z igual ao item verificado - a média e dividido pelo desvio padrão.

1º  Z = 5 - 5,5 / 0,5 => Z = 0,5 / 0,5 = 1,0  => 34,13%
2º  Z = 6 - 5,5 / 0,5 => Z =- 0,5 / 0,5 = -1,0 => 34,13%


Mesmo com o segundo Z igual a -1, devemos considerar apenas o módulo, ou seja, como se fosse 1.
Verificando na tabela na coluna dos inteiros, procuramos o 1 e, na coluna dos decimais, procuramos logo na primeira delas e em relação a 1. Dessa forma encontramos 0,3413 = 34,13%

Desse forma, nossa busca tem  34,13% de possibilidade entre 5 e 5,5 e ainda 34,13% de estar entre 5,5 e 6. De modo que somando essas possibilidades percentuais, temos 68,26% com média entre 5 e 6.

Na letra b) devemos imaginar o seguinte: percebendo na figura acima e em qualquer que seja a figura quando esta se tratar de distribuição normal que, estando a média exposta ao meio, sempre haverá 50% de cada lado. 

Ao fazer o exercício da letra A), verificamos que, com a média sendo 5,5 e que, dessa média até 6 teremos 34,13%, então, devemos que pegar aquilo que falta para completar esses 50% e que esse valor que falta é exatamente o que se encontra após o 6.

Então veja: 50% - 34,13 = 15,87% (temos possibilidades de ter acima de 6, 15,87%)
Letra c) A mesma situação vista na letra b) também se aplica para c), ou seja, sendo a média 5,5 e o item 5 e, entre eles temos 34,13%, então devemos fazer 50% - 34,13% = 15,87% (temos possibilidades de ter abaixo de 5, 15,87%)

Outro exemplos:

A) A área total sob a curva normal vale 1. Isto significa que a probabilidade de ocorrer qualquer valor real é 1. A curva é simétrica em torno da média zero. Então a probabilidade de ocorrer valor maior do que zero é 0,5. Mas qual seria a probabilidade de ocorrer valor entre zero e z = 1,25, por exemplo?

1,25, na tabela, encontramos  0,3944 = 39,44% (na tabela, após verificar a primeira coluna para os inteiros, veja que na coluna dos decimais, nos baseamos pela nossa segunda casa decimal que é 5.

B) Qual é a probabilidade de ocorrer valor maior do que z = 1,25?
Para valores acima de Z=1,25 e, sendo esse 1,25 = 39,44%, para chegarmos a 50% precisamos de mais 10,56% .

C) Qual é a probabilidade de ocorrer valor menor do que z = -0,5?
0,5 na tabela, corresponde a 0,1915 ou 19,15%. Se temos 50% de 0 até a média e que, da média até -0,5 temos 19,15%, devemos subtrair 50% de 19,15% e então teremos 30,85% abaixo de -0,5.

Distribuição Normal Reduzida


Mais exercícios:

1 - Observe o que diz as letras a, b, c e d e como resolver.

a) Suponhamos que uma nota média de estudantes em uma prova foi de 6 com desvio-padrão de 1,5.
Para calcular probabilidades associadas à distribuição normal, usa-se um artifício. Sabe-se que, se X tem distribuição normal com média, e desvio padrão, a variável Z .Esta variável corresponde a :
Z = ( Xi – Xm ) / DP . Ou seja o valor da variável menos a média , dividido pelo desvio-padrão.
Para a realização deste exercício será necessário o uso de uma Tabela de Distribuição Normal acima.
 Caso desejamos calcular o percentual de alunos com media entre 4,5 e  7,5 , temos :
 Z = (7,5-6) / 1,5 = 1 , que corresponde a 0,3413 na tabela de distribuição normal.
 Z = (4,5-6) / 1,5 = -1 , que corresponde a 0,3413 na tabela de distribuição normal.
Assim , o percentual de alunos que obtiveram entre 4,5 e 7,5 de média é de 68,26% , pois, 0,3413 = a 34,13% e que, somados teremos esses 68,26%.
b) - Usando os dados do exercício acima, vamos calcular o percentual de alunos com media acima de 7,5 , temos :
Z = (7,5-6) / 1,5 = 1 => 34,13%
=> 50% - 34,13% = 15,87% (esse é o valor que está acima de 7,5)

c) - Ainda com os dados da questão 1, calcular o percentual de alunos com media acima de 4,5 , temos :
Z = (4,5-6) / 1,5 = -1 => 34,13%

Porém, esses 34,13% que, com ele chegamos à média que é de 50%, devemos soma-lo aos outros 50% que estão depois da linha imaginária que mara a metade e, assim, chegarmos a 84,13%, que são a nossa resposta.

d) Caso desejássemos calcular o percentual de alunos com media abaixo de 5,25 , temos : 
Z = (6-5,25) / 1,5 = 1 => 19,15%
Se temos 19,15% entre 5,25 e a média, então, abaixo de 5,25 vamos ter 50% - 19,15% = 30,85%.
2 -  Uma população com características de distribuição normais tem peso médio de 75 kg e desvio padrão de 3 kg. Calcule o percentual de pessoas que tem peso acima de 79,5 Kg

a) 10%
b) 6,68% 
c)  43,32%
d)  34,13%
e) 5,87%
Resposta comentada 
Z = (79,5 - 75) / 3 = 1,5 => 43,32% (tabela). Se entre a média e e 79,5 temos 43,32%, então, acima de 79,5 temos 50% - 43,32% = 6,68%.

3 - O levantamento do custo unitário de produção de um medicamento revelou que sua distribuição é normal com média R$ 56,00 e desvio padrão R$ 5,00. Um item da produção é escolhido ao acaso. Calcular a probabilidade do custo desse item ser menor que R$ 51,00;

a) 16,67%
b) 6,68%
c)  13,32%
d)  34,13%
e) 15,87% 

Z = (51 - 56) / 5 = -1 => 34,13% (tabela)Entre 51 e a média que é 56, temos 34,13%. Então abaixo de 51 há 50% - 34,13% = 15,875.

Continue Praticando:

Questão do exame de suficiência para Bacharel em Ciências Contábeis de 2011.1

1 - A quantidade diária de unidades vendidas do produto X em uma determinada indústria segue uma distribuição normal, com média de 1.000 unidades e desvio padrão de 200 unidades. O gráfico abaixo representa a distribuição normal padrão com média igual a 0 (zero) e desvio-padrão igual a 1 (um), cujas percentagens representam as probabilidades entre os valores de desvio-padrão.  


Com base nas informações fornecidas, é CORRETO afirmar que:
  1. a probabilidade de a quantidade vendida ficar abaixo de 800 unidades é de 34,13%. 
  2. a probabilidade de a quantidade vendida ficar acima de 1.200 unidades é de 13,6%. 
  3. a probabilidade de a quantidade vendida ficar entre 800 e 1.200 unidades é de 68,26%.
  4. a probabilidade de a quantidade vendida ficar entre 800 e 1.200 unidades é de 31,74%. 

Resolução:

Média da população =>µ => 1.000

Desvio padrão da população => s => (-3, -2, -1 ou 1, 2, 3)

Os percentuais que podem ser encontrados são os seguintes:

µ ± 1 s = 68,26%
µ ± 2 s = 95,44%
µ ± 3 s = 99,74%

Ou seja, esse ± está sempre considerando os percentuais da esquerda e da direita da média (µ).

Por exemplo, no caso de 1 S, serão 34,13% de cada lado e por isso, 68,26%. O mesmo vale para 2 S e 3 S.

Assim, teremos:

µ ± 1S, com µ = 1.000 e S = 200

Substituindo, temos:

1000 - 200 <= 68,26% <= 1000+200
800 <= 68,26% <= 1.200

A probabilidade de a quantidade vendida ficar entre 800 e 1.200 unidades é de 68,26%.

A questão termina aqui, mas, se quiséssemos ir adiante e, fazer uso da tabela da curva reduzida, poderíamos então, calcular o "Z".


Sua fórmula é:

Z = x - µ
        s
Os dois pontos que se deseja converter em "Z" são 800 e 1.200.

Z = 800 - 1000
           200

Z = -1 (para essa busca, não importa o sinal negativo e, suas casas decimais seriam completadas com "00". Olhando na tabela encontraremos para "1", 34,13%)

Z = 1200 - 1000
           200

Z = 1 (Suas casas decimais seriam completadas com "00". Olhando na tabela encontraremos para "1", 34,13%)

A soma dos percentuais encontrados são exatamente 68,26%.

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