Contabilidade e Matemática para Negócios e Concursos

terça-feira, 11 de outubro de 2016

Variável Aleatória e Distribuição Binominal

Veremos aqui conceitos e ver a aplicação de Varável Aleatória e Distribuição Binominal.
Considere um espaço amostral S e que cada ponto amostral seja atribuído um número. Fica então, definida uma função chamada variável aleatória , indicada por uma letra maiúscula , sendo seus valores indicados por letras minúsculas.

Variável Aleatória

Dado lançamento simultâneo de duas moedas o espaço amostral é S= {(Ca,Ca),(Ca,Co), (Co,Ca), (Co,Co)} eX (frequência) representa o número de caras que aparecem a cada espaço amostral.
Assim X será a frequência da seguinte tabela :

Ponto Amostral             X
(Ca,Ca)                         2
(Ca,Co)                         1
(Co,Ca)                         1
(Co,Co)                         0 
Total                             4     ==> Podendo a partir de então trabalhar com a mesma tabela de frequência utilizada para estatística descritiva.
Distribuição de Probabilidade 
Consideremos a distribuição de frequências relativas ao número de acidentes em um estacionamento :
Acidentes ocorridos -Total de dias
Numero de AcidentesFrequência
022
15
22
31
Total30

Com base acima, veja na tabela abaixo, valores decimais, em um dia a possibilidade de:

a) Não ocorrer acidente
b) ocorrer um acidente
c) ocorrerem dois acidentes
c) ocorrerem três acidentes
Numero de AcidentesProbab.
0
0,73
1
0,17
2
0,07
3
0,03
1

Essa tabela é denominada distribuição de probabilidade.


Distribuição Binominal

A distribuição binomial é um prolongamento da distribuição de Bernoulli, devendo ser aplicada em problemas nos quais um experimento é realizado um número de vezes preestabelecido. Cada uma destas repetições é denominada prova ou experimento.
Distribuição Binominal
O cálculo probabilístico de um evento ocorrer em uma distribuição binomial está baseado no Binômio de Newton.
  • O experimento deve ser repetido nas mesmas condições, um número finito de vezes, ou seja, considerar “n” tentativas;
  • As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das demais;
  • Cada tentativa admite apenas dois resultados: sucesso e insucesso, com as mesmas probabilidades de ocorrer;
  • No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q (q = 1-p) do insucesso manter-se-ão constantes.
Em geral resolveremos problemas do tipo: determinar em “n” tentativas a possibilidade de se obterem “k” sucessos.
O experimento “obtenção de caras em cinco lançamentos sucessivos e independentes de uma moeda” satisfaz essas condições.
Consiste na análise de problemas do tipo : determinar a probabilidade de encontrar “k” sucessos com “n” tentativas.

Distribuição-Binominal

P(X = k) = probabilidade de que o evento se realiza em k vezes em n provas.
p é a possibilidade de que o evento se realize numa só prova;
q é a possibilidade de que o evento não se realize nessa prova.

Distribuição Binomial (Exemplo 1)


Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas. Calcule a possibilidade de serem obtidas três caras nessas cinco provas.

F(X) = P(X = k) =  5 / 3 *p3q5-3
=>  5 / 3 * p3 * q5-3
=> 5! / 3!2! * 0,503 * 0,502
=> 5.42.3.2.1 / 3.2.1.2.1 * 0,125 * 0,25
=> 10 * 0,125 * 0,25
= 0,3125 ou 31,25%

Poderia também ter trabalhado os valores decimais em forma de fração:

P(X = k) =  10 *  (1/2)3 * (1/2)2  = 10*1/8*1/4 = 10/32 = 5/16

Distribuição Binomial (Exemplo 2)

Dois times de futebol , A e B, jogam entre si seis vezes. Encontre a possibilidade do time A ganhar quatro jogos.

F(X) = P(X = k) =  6 / 4 *  p4 * q6-4
=> 6! / 4!2! * *  p4 * q6-4
=> 6.5.4.3.2.1 / 4.3.2.1.2.1 * (1/3)4 * (2/3)
=> 15 * 1/81 *4/9
= 20/243

Distribuição Binomial (Exemplo 3)


Distribuição-BinominalLançando uma moeda 7 vezes, deseja-se a obter 4 coras. Qual será possibilidade em termos percentuais?

=> 7 / 4 * (1/2)4 * (1/2)3 
=> 7! / 4!3! * (1/2)4 * (1/2)3 
=> 7.6.5.4.3.2.1  /  4.3.2.1.3.2.1 * 1/16 * 1/8
=> 210/6 * 1/16 * 1/8 => 35 * 1/16 * 1/8
=> 35/144
27,34%
← Postagem mais recente Postagem mais antiga → Página inicial

0 comentários:

Postar um comentário

Postagens populares