Contabilidade e Matemática para Negócios e Concursos

sábado, 8 de outubro de 2016

Desvio Padrão

As medidas de tendência central (Média, Moda e Mediana) que foram vistas nos assuntos anteriores, fornecem de forma parcial, um resumo das informações de um conjunto de dados.

Em virtude de serem parcial, é que se torna necessário o estudo de uma medida de variação aparente (Desvio Padrão, Variância...), permitindo assim, dentre outras coisas, comparar conjuntos diferentes de valores. 

Vejamos alguma das características dessa medida:

Amplitude total

A amplitude de uma amostra é a diferença entre o máximo e o mínimo.

Exemplo:

Para os valores 30, 40, 45, 55, 58 66 e 80, temos que AT = 80 – 30 = 50.

Quanto maior for a amplitude total, maior também será a dispersão ou variabilidade dos valores da variável.

É preciso entender que nesse caso acima, estaremos trabalhando sempre com dois valores e, trabalhando com dois valores não vai dar a melhor forma de se obter como está a dispersão dos dados em torno da média.

Variância

A variância é a média dos quadrados dos desvios das observações em relação à média da amostra.

Desvio Padrão

Ao calcularmos o desvio padrão, ele dado na mesma unidade ou grandeza do grupo em que se apresenta, por exemplo, metro, centímetro, kg, conforme seja o caso.


Tomando-se a raiz quadrada da variância teremos o desvio padrão que também é uma medida de dispersão e vindo na mesma unidade das observações.

Desvio Padrão
"n" quando se tratar de uma população  ou "n-1" quando se tratar de uma amostra

Nos programas de estatística e nas máquinas de calcular, são as versões corrigidas da variância e do desvio padrão que lá aparecem.

Se observações forem muito afastadas, estas podem afetar ao desvio padrão e a variância de maneira muito considerável.

Coeficiente de Variação (CV)

Desvio-Padrão-e-coeficiente-de-variacao
Esse coeficiente trabalha com a dispersão e com a forma percentual, melhorando a forma de entendermos como esses dados estão dispersos.

Para se chegar ao valor do desvio padrão, há mais de uma forma, mas, faremos com um método prático mostrado abaixo.

Exemplo de aplicação do coeficiente de variação (CV)

Veja os resultados das medidas das estaturas e dos pesos, pertencentes a um mesmo grupo de indivíduos:

 Item
 Média
 Desvio padrão
Estaturas
Pesos
165 cm
65 kg
4 cm
2 kg

CVE = 4/165 * 100 = 0,024 * 100 = 2,42
CVP = 2/65 * 100 =  0,0307 * 100 = 3,07

No entanto, para calcularmos esse coeficiente de variação, será preciso que saibamos calcular esse desvio padrão. De forma que, para as explicações do assunto desse artigo, o entendimento da medida do desvio padrão é fundamental, haja vista que é a raiz quadrada da variança e necessária para podermos calcular o coeficiente de variação.

Então, usaremos esse método prático que, ao invés de trabalhar com desvios, irá trabalhar com colunas.

Método prático

Os cálculos poderão ser facilitados através desse método prático, pois, além de mais prático, é mais preciso.


1º Caso: Dados não agrupados


 xi
 (xi
30
40
45
55
58
66
80
 900
1600
2025
3025
3364
4356
6400
 Total = 374
 Total= 21.670


Tomemos como exemplo o conjunto de valores da variável x: 30, 40, 45, 55, 58 66, 80. Esse grupo, é o mesmo do início, quando foi demonstrado a amplitude total, ou seja, a diferença entre o maior e o menor dado. AT= 80 - 30 = 50.

O modo mais prático para se obter o desvio padrão é formar uma tabela com duas colunas: uma para x e outra para xi².


Observe bem a fórmula anterior e tente assimilar-se com ela. Perceba que os valores da tabela foram substituindo os dados da fórmula. 

Onde:

O somatório da coluna Xi² = 21.670 é dividido por 7, haja visto que o número "n" de elementos é 7. 

Da mesma forma o valor entre parêntese que é o somatório de Xi = 374 é dividido pelo número de elementos "n", que é igual a 7.

O resultado 240,95 que está sob o radical já é a variança e, a raiz quadrada dessa variança será o desvio padrão, ou seja, 15,52. Lembrando que, o valor da segunda divisão será elevado ao quadrado. 

Poderá utilizar a calculadora para fazer essas divisões e extrair a raiz quadrada.

A maioria dos dados que temos, mais ou menos 70% vão estar em torno da média mais o desvio padrão 53,43 + 15, 52 e entre a média menos o desvio padrão 53,43 - 15,52 , ou seja, pegando a média e ou somando ou subtraindo o desvio padrão, o intervalo encontrado, é onde vai está concentrado a maioria dos dados existentes ou seja, da coluna Xi.

2º Caso: Dados agrupados sem intervalo de classes

Temos aqui, a presença de frequências, sendo dessa forma, preciso levá-las em consideração, para chegarmos à fórmula a baixo:

fómula do desvio padrão

Vamos supor que temos como xos seguintes dados 0, 1, 2, 3 e 4 e suas respectivas frequências são 3, 8, 10, 13 e 8. A melhor maneira para continuarmos, é expondo esses dados em uma tabela.


xi
0
1
2
3
4
fi
3
8
10
13
8
fixi
0
8
20
39
32
fixi²
0
8
40
117
128
Total= 42= 99= 293

Veja que que os dados da coluna xfi deu surgimento à coluna fix(0,8,20,39,32) e depois vem a curiosidade para encontrar os valores que deram origem à coluna fixi², como mostra a primeira fração vista na fórmula. Trata-se de uma multiplicação comum que tanto encontraremos os valores para fixi² multiplicando o quadrado de xi x fcomo também multiplicando apenas xi diretamente por fixi, já que esta é o resultado de xi  x  f.

Saiba que essa tabela, é para nos facilitar encontrar os valores do numerador daquela primeira fração da fórmula.

Agora que encontramos, devemos jogá-los na fórmula, lembrando que a partir daqui, o que irá interessar é os somatórios de cada coluna. 

Obs: Por estar envolvendo as frequência com que os dados aparecem, então, aquele "n" da fórmula, deverá ser substituído não pelo número de elementos da série, mas, pelo valor da soma dessas frequências, ou seja, 42.


A nossa variança é 1,41 e o desvio padrão é a sua raiz quadrada que no caso, ´1,19 (foi arredondada).

Observação: Perceba que em dados não agrupados o denominador "n" foi o número de elementos e, para dados agrupados, considerando a frequência, o denominador já foi o somatório do número de elementos da frequência.

3º Caso: Dados agrupados com intervalo de classes

Supondo que estejamos trabalhando com estaturas encontradas em centímetros:

 i
 Estaturas em (cm)
 fi
 xi
 fixi
 (fixi)²
 1
 150--------154
 3
 152
 456
 69312
 2
 154--------158
 4
 156
 624
 97344
 3
 158--------162
 5
 160
 800
 128000
 4
 162--------166
 3
 164
 492
 80688
 5
 166--------170
 2
 168
 336
 56448


 = 17

 = 2.708
 = 431.792

Depois de termos feito nossa tabela com os seus devidos valores e que, considero a parte mais trabalhosa, é hora de jogarmos esses valores na fórmula e em seus devidos lugares, da mesma forma que foi feito no caso 2, pois, a fórmula é a mesma.

Antes, observe que a coluna xi foi formada a partir do ponto médio do intervalo de classe, por exemplo, do intervalo 150 e 154 que, somado e divido por 2, resulta em 152 e assim para os demais valores. Já a coluna fixi² é formada pela multiplicação de xi . fixi que poderia também ser como seu símbolo mesmo diz, onde, xelevado ao quadra e multiplicado por fi, que também daria no mesmo valor.

Com tudo isso feito e já detalhado, é hora de pegarmos os seus somatórios e substituirmos na fórmula:


calculo do desvio padrao com dados agrupados sem intervalo de classes- terceiro caso
Onde, 26,23 é a variança e 5,12 é o desvio padrão. Como visto, a partir do início do estudo do método prático para cá, podemos encontrar a variança e o desvio padrão usando a fórmula ao lado

Usando o Excel

Seja uma distribuição amostral composta de sete números (n), representando o tempo (em minutos) de execução de uma prova. X = (85, 86, 88, 88, 91, 94, 104).

Usando as fórmulas prontas do Microsft Excel para determinar a variância e o desvio padrão da amostra e da população, teremos:

O comando VARP(NUM1;NUM2...) calcula a variância da população, bastando marcar as células que contêm os dados.

Com o comando VARA(NUM1;NUM2;...) calcula a variância da amostra, bastando marcar as células que contêm os dados com o mouse, ou indicar o intervalo na função como mostrado no exemplo.

Da mesma forma temos o desvio padrão da população e amostra:

  • População: =DESVPADP(NUM1;NUM2;...)
  • Amostra: =DESVPAD(NUM1;NUM2;...)

Para média, moda e mediana, seriam, respectivamente:
  • =media(NUM1;NUM2;..)
  • =modo(NUM1;NUM2;..)
  • =med(NUM1;NUM2;..)

Atividade
Calcule o desvio-padrão da amostra: 4, 5, 6, 7 e 8 e marque a opção correta: Fórmula
A) 2,56.
B) 1,64.
C) 1,58. 
D) 1,80.

Calcule o desvio-padrão da amostra: 1, 2, 8, 8 e 9 e marque a opção correta: Fórmula :
A) 5,6.
B) 3,36.
C) 7,6.
D) 3,78. 
E) 1,70.


Segue abaixo os dados agrupados de uma sondagem eleitoral de avaliação do Governador Maciel, Calcular a variância e o desvio-padrão       

Classes         f    Fi
0   I----- 10   2      2
10 I----- 20   4      6
20 I----- 30   5     11
30 I----- 40   4     15
40 I----- 50   6     21
50 I----- 60   7     28
60 I----- 70   7     35
70 I----- 80  10    45
80 I----- 90  25    70
90 I----100  10    80

Variança = 646,47 e Desvio padrão = 25,42
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