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sábado, 4 de junho de 2016

Risco de uma Carteira de Investimentos

Vamos nesse artigo calcular o Risco de uma Carteira de Investimentos, porém, antes é preciso ter entendido o artigo risco de um investimento em separado e aqui, será calculado o risco considerando mais de um investimento.

Risco de uma Carteira de Investimentos


Antes de calcular o risco, precisamos antes calcular o Retorno Esperado de uma carteira de investimentos.

O Retorno Esperado de uma carteira de investimentos é a média ponderada dos retornos esperados dos ativos que formam a carteira.

Carteira é também sinônimo para portfólio e essa carteira é formada a partir de 2 ou mais ativos. A decisão de investir em mais de um ativo, formando uma carteira é também uma maneira de diminuir os riscos dos investimentos. Esses investimentos em mais de um ativo são chamados de "DIVERSIFICAÇÃO".


Perceba ainda que, antes de aplicarmos essa fórmula, precisaríamos calcular o retorno esperado de cada ativo isoladamente, porém, na tabela abaixo, foi apresentado os valores como se os retornos esperado de cada ativo já tivessem sido encontrados.

retorno-esperado-de-um-ativo
Retorno esperado de uma carteira de uma carteira de ativos
 Onde:
  • E(Kp) => Retorno esperado da carteira de ativos;
  • Wj => Proporção do percentual aplicado no ativo j;
  • Kj => Retorno esperado do ativo j.

Supondo que um investidor queira diversificar seus investimentos e invista em três ativos com participação percentual conforme tabela abaixo.

AtivoWK(esperado)
Ação25%17%
Debênture35%13%
Título Público40%8%


Substituindo na fórmula dada:
  • E(Kp) = (0,25 * 0,17) + (0,35* 0,13) + (0,40 * 0,08)
  • E(Kp) = 0,0425 + 0,0455 + 0,032
  • E(Kp) = 0,12 ou 12%

O retorno esperado da carteira é de 12%.
Já sabendo qual o retorno esperado de uma carteira, podemos então continuar, procurando agora a covariância.

carteira-de-investimentos-formula-para-a-covariancia-com-dados-populacionais
Carteira de investimentos - fórmula para a covariância com dados populacionais

Onde:

KiX => valor do retorno i do ativo X;
KiY => valor do retorno i do ativo Y;
Kx => retorno esperado do ativo X;
Ky => retorno esperado do ativo Y;
Pri => probabilidade de ocorrência dos retornos KiX e KiY;
n => número de ocorrências consideradas.

carteira-de-investimentos-em-ativos-covariancia-para-dados-amostrais
Risco de uma carteira - covariância para dados amostrais

Nessa última fórmula, percebemos que ao invés da multiplicação pela probabilidade, há um denominador com (n -1). Esse -1 deve-se ao fato de se trabalhar com dados amostrais, onde nunca será possível os 100% de certeza.

Essa covariância vai nos dizer como que esses Ativos se relacionam entre si ou mesmo se eles não se relacionam, ou seja, o quanto um depende ou não do outro.

  • COV > 0 (associação positiva);
  • COV < 0 (associação negativa);
  • COV = 0 (Independentes).

Nessa associação positiva, quando uma variável cresce a outra também cresce no mesmo sentido. Quando a covariância é negativa, as variáveis caminha em sentido contrário. Quando a covariância é exatamente igual a zero, essas variáveis não tem relação uma com a outra, sendo independentes e nesse caso, nada acontece com uma se a outra aumentar ou diminuir.

No entanto, há um problema. É que essa covariância  pode vir em um valor difícil de ser interpretado e, para esse resolver problema, usamos o valor encontrado na covariância em uma outra fórmula, o Coeficiente de Variação.

Coeficiente de Correlação


O coeficiente de correlação é representado pela letrinha (ρ). Essa medida estatística alternativa de dependência entre duas variáveis serve para resolver o problema de “dimensão” da covariância. Isso é possível porque as variáveis encontradas após o cálculo do coeficiente de correlação fica sempre entre (1) e (-1).

Dessa forma poderemos ter:

  • ρ > 0 (Correlação positiva e ainda, se for igual a 1, a correlação é positiva e perfeita) positivamente correlacionadas;
  • ρ < 0 (Correlação negativa e ainda, se for igual a -1, a correlação é negativa e perfeita).

carteira-de-investimentos-em-ativos-coeficiente-de-correlacao
Risco de uma carteira - Coeficiente de Correlação

Onde:

COVX,Y => covariância entre os retornos de X e de Y;
σX => desvio-padrão dos retornos de X;
σY=> desvio-padrão dos retornos de Y.

Pensando na Redução do risco de uma carteira, melhor será a escolha por ativos que se correlacione negativamente, mas, poderá também diminuir o risco quando esses ativos se correlacionarem positivamente, mas nesse caso, não pode ter correlação positiva e perfeita.

Após o cálculo do retorno esperado de uma carteira e também encontrado o Coeficiente de Correlação, podemos encontrar o risco padrão da carteira de investimentos através da fórmula:

carteira-de-investimentos-risco-padrao-para-dois-ativos
Risco de uma carteira de investimentos - risco padrão para mais de um ativo

Exercício de Fixação:

Vamos supor que dois Ativos, "X" e "Y", ao calcular seus desvio padrão isoladamente, os seus retornos esperados e  a covariância entre eles, além de sabermos qual o percentual de participação de cada ativo na carteira, formamos a tabela com os dados abaixo.

AtivoKDesvio PadrãoW
X15%0,04582575760%
Y13%0,047958331540%

Além dos dados na tabela, supomos ainda que ao calcular a covariância entre eles, encontramos Covj,s = - 0,0022.

carteira-de-investimentos-em-ativos-coeficiente-de-correlacao

Nesse caso, devemos começar por procurar o coeficiente de correlação, haja visto que essa covariância - 00022 é difícil de ser interpretada.

ρx,y = - 0,0022 / 0,045825757 * 0,0479583315
ρx,y = - 0,0022 / 0,002197726
ρx,y = - 1

Agora que já temos também o Coeficiente de correlação, já podemos utilizar a fórmula do risco padrão para encontrarmos o risco de uma carteira.

carteira-de-investimentos-risco-padrao-para-dois-ativos
Risco de uma carteira de investimentos - risco padrão para mais de um ativo
Percebemos que o coeficiente de correlação participa da multiplicação e é exatamente por isso que quando ele é negativo, há ainda mais a possibilidade de diminuir o risco da carteira.

σ p = √0,602* ( 0,045825757)2 + 0,402 * (0,0479583315)2 + 2 * 0,60 * 040 * -1 * 0,045825757 * 0,0479583315
σ p = √0,36 * 0,0021 + 0,16 * 0,0023 + 2 * 0,60 * 040 * -1 0,045825757 * 0,0479583315
σ p = √0,000756 + 0,000368 + 0,48 * (- 0,002197727)
σ p = √0,001124 - 0,001054909
σ p = √0,000069091
σ p = 0,0083121 ou simplesmente 0,8312%.

Um risco padrão bastante pequeno ao combinar esses dois ativos.
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4 comentários:

  1. Poxa, que artigo mais bacana! Mandou bem!
    Obrigadão por compartilhar o conhecimento.

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    1. Essa é a intenção maior, a de compartilhar conhecimentos. Fique a vontade para perguntar, comentar e sugerir novos artigos dentro das Ciências Contábeis.

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  2. Ótimo artigo! Porém ficou uma dúvida: os pesos não têm que ser elevados ao quadrado? 0,6^2 e 0,4^2?
    Grato!

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    1. Perfeito Arthur, e desde já agradeço muito pela sua observação e ajuda. De fato, é o que mostra mesmo nessa fórmula para risco padrão de uma carteira de ativos, Wf² e Wg².

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