Contabilidade e Matemática para Negócios e Concursos

sábado, 4 de junho de 2016

Carteira de Investimentos e risco padrão

Em assuntos anteriores foi calculado os retornos esperados e os riscos, porém, de ativos isolados. Agora, calcularemos o risco de uma carteira de investimentos.

Carteira de Investimentos e cálculo dos riscos


Carteira é também sinônimo para portfólio e essa carteira é formada a partir de 2 ou mais ativos. A decisão de investir em mais de um ativo, formando uma carteira é também uma maneira de diminuir os riscos dos investimentos. Esses investimentos em mais de um ativo são chamados de "DIVERSIFICAÇÃO".

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Para calcularmos o risco de uma carteira de investimentos é preciso que antes calculemos a covariância e o coeficiente de correlação.

1 - Retorno Esperado de uma carteira de investimentos


 É a média ponderada dos retornos esperados dos ativos que formam a carteira.

Carteira de Investimentos e risco padrão
Carteira de Investimentos e risco padrão

  • E(Kp) => Retorno esperado da carteira de ativos;
  • Wj => Proporção do aplicado no ativo j;
  • Kj => Retorno esperado do ativo j.
Supondo que um investidor queira diversificar seus investimentos e invista em três ativos com participação percentual conforme tabela abaixo.

AtivoWKj
Ação25%17%
Debênture35%13%
Título Público40%8%
Para ter esse retorno esperado (Kj) de cada um dos ativos isoladamente, veja o artigo Retorno esperado de um Ativo.

Substituindo na fórmula dada:

  • E(Kp) = (0,25 * 0,17) + (0,35* 0,13) + (0,40 * 0,08)
  • E(Kp) = 0,0425 + 0,0455 + 0,032
  • E(Kp) = 0,12 ou 12%
O retorno esperado da carteira é de 12%.

2 - Covariância e correlação dos retornos


De acordo com STOCK; WATSON (2004) é uma medida estatística de dependência utilizada para medir a extensão com que duas variáveis se movem juntas.

A covariância busca observar qual o grau de dependência entre os ativos que compõem a carteira. Essa dependência entre os ativos vão influenciar no risco da carteira.

A interpretação para seus resultados encontrados são:

  •  COV > 0 - associação positiva (quando um aumenta, o outro também aumenta);
  • COV < 0, associação negativa (quando um aumenta, o outro diminui);
  • COV = 0 - independentes. (não têm dependência um do outro)
A fórmula para a covariância envolvendo o retorno entre 2 ativos é a seguinte:

covariância
Carteira de investimentos - fórmula para a covariância com dados populacionais
Onde:

  • Kix = valor do retorno i do ativo X;
  • Kiy = valor do retorno i do ativo Y;
  • Kx = retorno esperado do ativo X;
  • K= retorno esperado do ativo y;
  • Pr= probabilidade de ocorrência dos retornos Kix e Kiy;
  • n = número de ocorrências consideradas.
Agora, pelo fato de na maioria das vezes os dados que se tem são apenas amostras de uma população, devemos usar essa forma substituindo a probabilidade (Pri) pelo (n-1) no denominador.

covariância
Carteira de investimentos em ativos - covariância para dados amostrais
Após aplicarmos a fórmula da variância, vamos encontrar um número que nos dirá se a associação entre os ativos é positiva, negativa ou neutra, porém, por ser um número de grande dimensão, não conseguimos interpretar facilmente.

Então, esse valor encontrado, a variância, será utilizado em uma outra técnica estatística que facilitará a mensuração da dependência existente entre essa associação. Trata-se do Coeficiente de Correlação.

3 - Coeficiente de Correlação


O coeficiente de correlação (ρ) é uma medida estatística de dependência entre duas variáveis, usada para dar continuidade nesse trabalho, resolvendo o problema de dimensão apresentado pela covariância (STOCK; WATSON, 2004).

coeficiente de correlação (ρ)
COVX,Y  => covariância entre os retornos de X e de Y;
σX => desvio-padrão dos retornos de X; e
σY  =>desvio-padrão dos retornos de Y.

Os seu resultados vão de –1 ≤ ρ ≤1 e a sua interpretação é a seguinte:

  • ρ = 1 => associação positiva e perfeita;
  • ρ > 0 => variáveis positivas;
  • ρ < 0 =>variáveis negativa.
  • ρ = – 1 => associação negativa e perfeita.
Três formas de diminuir o risco:
  • ativos com correlação negativa;
  • ativos independentes;
  • ativos com correlação positiva (mas não perfeita).

4 - Retorno esperado e risco da carteira

Segundo Markowitz (1952) o risco de uma carteira além dos desvios-padrão dos ativos e de suas participações no investimento total, depende também da forma como os retornos dos ativos se relacionam (covariam).

Segundo MARKOWITZ (1952) a carteira ótima deve:

  • Para um determinado retorno, produza o menor risco possível; ou
  • Para um dado risco, ofereça o maior retorno possível.
Após calcularmos a covariância e o coeficiente de correlação (ρ), já podemos então, utilizarmos o na fórmula do risco padrão de uma carteira de investimentos.

De acordo com GITMAN (2004) o retorno esperado  de uma carteira de investimentos é a média ponderada dos retornos esperados dos ativos individuais que integram essa carteira.

Percebemos na fórmula o porquê de termos iniciado com retorno esperado da carteira e seguido com covariância e coeficiente de correlação.

risco padrão
Carteira de Investimentos e risco padrão

Onde:

  • σf2 => variância dos retornos do ativo f;
  • σg2 => variância dos retornos do ativo g;
  • Wf  => proporção do capital total aplicado no ativo f;
  • Wg  => proporção do capital total aplicado no ativo g;
  • ρ f,g => coeficiente de correlação entre os retornos dos ativos f e g;
  • σ => desvio-padrão dos retornos do ativo f;
  • σ g=> desvio-padrão dos retornos do ativo g.
Veja aqui um exercício de como calcular esse risco de uma carteira de investimento.
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