Contabilidade e Matemática para Negócios e Concursos

quarta-feira, 27 de janeiro de 2016

Série uniforme de pagamentos

Quando falamos em uma série uniforme de pagamentos, estamos nos referindo ao ponto de vista daquele que vai pagar as prestações, mas, pode ser válido para quem recebe e, nesse caso, seria uma série uniforme de recebimentos.

Serie Uniforme de Pagamentos


É uniforme porque tem os valores desses pagamentos ou recebimentos iguais em intervalos regulares de tempo.

Esses pagamentos/recebimentos podem ser postecipados (os termos são exigíveis no fim dos períodos) ou antecipado (os termos são exigíveis no início dos períodos).

Para encontrarmos o valor da parcela, o valor presente, taxa ou tempo, usamos a fórmula abaixo:

1 – Postecipado
Série-Uniforme-de-Pagamentos-Postecipado

2 – Antecipada
Série-Uniforme-de-Pagamentos-Antecipada
Onde:

PV = valor
presente ou valor atual;
PMT = valor das parcelas que também pode aparecer apenas como “P”.
n = tempo ou período;
i = taxa.

Dentro dos colchetes temos o chamamos de Fator Atual de uma série de pagamentos, onde, com auxílio de uma tabela de fator de acumulação, já vista em assuntos passados, podemos facilmente resolver essas questões, mas, podemos também, resolvê-las com o auxílio de calculadoras.

No caso da fórmula do antecipado, há uma pequena diferença que é o “-1 “ no denominador, que representa uma parcela que já foi dada na entrada, diminuindo o tempo restante.

Exemplos:

1 -  Uma motocicleta à vista custa R$ 8.000,00. No entanto uma pessoa deseja comprar financiada em 24 meses.  Para esse financiamento, haverá a incidência de uma taxa de 1,5% ao mês. Caso a primeira prestação paga 1 mês após a compra (postecipada), calcule o valor da prestação.

Resolução:

Devemos usar uma tabela de fator de acumulação ou uma calculadora científica ou HP para encontrar o fator de atualização.

 Série-Uniforme-de-Pagamentos-Postecipado

Sendo postecipada, deverei usar a fórmula ao lado:

PV = PMT [ (1 + i)n – 1 / (1 + i)n *i ]
PV = 8.000
n = 24 meses
i = 1,5% ao mês
PMT = ?

8.000 = PMT [ (1 + 0,015)24 - 1 / (1 + 0,015)24 * 0,015 ]
8.000 = PMT [ (1,4295 - 1 / (1,4295 * 0,015 ]
8.000 = PMT [ (0,4295 / 0,0214425]
8.000 = PMT [ 20,0303]
PMT = 8.000 / 20,0303
PMT = 399,39  aproximadamente

Na HP-12C,
digite:
f => Reg (para limpar)
g => END (modo postecipado)
8000 => CHS (muda o sinal) => PV
1.5 = i
24 => n
PMT

Vai aparecer no Visor 399,39.

Outro exemplo:

2 – Supondo os mesmos dados do exercício 1, porém, sendo que a primeira prestação foi dada no momento da compra.

Resolução:

Série-Uniforme-de-Pagamentos-Antecipada


Sendo a primeira prestação no ato da compra (antecipada), devemos usar aquela fórmula 2.

PV = PMT [ (1 + i)n – 1 / (1 + i)n-1 * i ] => o diferencial está no denominador.
PV = 8.000
n = 24 meses
i = 1,5% ao mês
PMT = ?

8.000 = PMT [ 1 + 0,015)24 - 1 /  (1 + 0,015)24-1 *i ]
8.000 = PMT [ 1,4295 - 1 / (1 + 0,015)23*i ]
8.000 = PMT [ 0,4295 / 1 ,4084 * i ]
8.000 = PMT [ 0,4295 / 0,021126]
8.000 = PMT [ 0,4295 / 0,021126]
8.000 = PMT [ 20,3304]
PMT = 8.000 / 20,3304
PMT = 393,50

Na HP-12C, digite:

Obs.: Para resolvermos uma série antecipada, devemos antes apertar os comandos g BEG . Dessa forma, aparecerá a palavra BEGIN no visor (para tirar, é só apertar g END).
f => Reg (para limpar) ;
g => BEG (modo antecipado);
8000 => CHS (muda o sinal) => PV ;
1.5 => i;
24 => n;
PMT.

Vai aparecer no Visor 393,49.

A mesma fórmula pode ser usada para encontrar taxa, tempo, Valor Presente (PV) Valor Futuro (FV).

Exemplos:

A – Supondo que na compra de uma geladeira, a loja peça R$ 200,00 de entrada e o restante dividido em 10 parcelas de R$ 130,00, sendo as parcelas, pagas a cada final do período (postecipada). Sabendo ainda que, para esse financiamento, a loja cobra uma taxa mensal de 5%, qual será o valor à vista?

Resolução:

PV = PMT [ (1 + i)n – 1 / (1 + i)n *i ]

PV = ?
n = 10 meses
i = 5% ao mês
PMT = 130

O exercício pode ser resolvido normalmente com esses dados inseridos na fórmula e, ao final, devemos somar o valor encontrado com os 220 que foram dados de entrada e assim, determinar o valor à vista.

PV = 130 [ (1+ 0,05)10 - 1 / (1 + 0,05)10 * 0,05 ]
PV = 130 [ (1,63 - 1 / (1,63 * 0,05 ]
PV = 130 [ (0,63 / 0,08]
PV = 130 [ 7,88]
PV = 1.023,75  (deve ser somado com o valor dado na entrada)
PV = 1.023,75 + 200
PV = 1.223,75

B – Um produto tem seu preço à vista anunciado por R$ 20.000,00. Mas, o negócio será feito nas seguintes condições: entrada de 10% e o restante financiado em 12 prestações mensais iguais e sucessivas e, com a primeira prestação para 30 dias. A taxa de juros para esse financiamento será 2% ao mês. Nessas condições, de quanto será o valor das prestações?

Resolução:

PV = PMT [ (1 + i)n – 1 / (1 + i)n *i ]

PV = 20.000 – 10% = 18.000
n = 12 meses
i = 2% ao mês
PMT = ?

18.000 = PMT [ (1 + 0,02)12 - 1 / (1 + 0,02)12 * 0,02 ]
18.000 = PMT [ (1,2682 - 1 / (1,2682 *0,02 ]
18.000 = PMT [ (0, 2682 / 0,0254]
18.000 = PMT [ 10,56]
18.000 / 10,56=    PMT
PMT = 1.704.54 aproximadamente

Obs.: É bom trabalhar pelo menos com 4 casas decimais, pois, usando apenas duas, poderá resultar em uma diferença considerável.

Manoel Oliveira
Matemática Financeira
 
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