Contabilidade e Matemática para Negócios e Concursos

quinta-feira, 21 de janeiro de 2016

Desconto

Desconto é aquele abatimento que se obtém ao pagar uma dívida referente a um título de crédito ou outra modalidade de valor antes de seu vencimento. 


Desconto Racional e o Comercial Simples

Na matemática financeira é extremamente comum ouvirmos falar de descontos racional ou “por dentro” e também, de desconto comercial ou “por fora”.

Ambos os descontos existem no regime de juros simples e também no regime de juros composto, porém, é o desconto simples aquele mais comumente observado nas operações realizadas no Brasil. 


Já os Descontos compostos, no Brasil, apenas o desconto composto racional tem aplicação prática, sendo utilizado em operações de longo prazo.

Modelo de duplicata:

Desconto-Racional-modelo-de-duplicata

Para que se possa determinar o valor do desconto em qualquer que seja a operação, devemos trabalhar com uma taxa de desconto, podendo essa taxa ser diferente, conforme cada instituição financeira.

Desconto Simples

Embora saibamos que as transações de empréstimos utilizadas no Brasil sejam com base no regime de capitalização composta, mas, para essas operações de desconto, seu desenvolvimento se dará com base no regime de capitalização simples.

Temos aqui então duas situações:
  1. Desconto racional (ou “por dentro”);
  2. Desconto bancário (ou comercial ou “por fora”), utilizado no mercado.
Para desconto racional, no caso de estarmos procurando o nominal, podemos usar uma fórmula idêntica àquela utilizada para montante nos juros simples, com a ressalva de que, no lugar do "M" de montante, temos o "N" de nominal e, no lugar de "C" de capital, temos o "A" de atual.

A   =    N / (1 + i * n)       (Atual)
N = A * (1 + i * n)           (Nominal)
Dr = N – A                       (Desconto)

Para desconto comercial temos as fórmulas:


A = N * (1 - iD * n)          (Atual)
N = A / (1 - iD * n)           (Nominal)           
Df = N * iD * n                 (Desconto)


Cada uma dessas fórmulas poderá ser utilizada conforme os dados fornecidos.

Obs: no meu caso, para evitar confusão nas fórmulas para racional e ou comercial, eu preferi memorizar apenas a fórmula do valor atual, vejamos.

Enquanto na fórmula para encontrarmos o valor atual no desconto racional, teremos no segundo membro o “N” dividido pelo seu parêntese, na fórmula para desconto comercial, teremos o “N” multiplicando o seu parêntese. (Não devemos esquecer dos sinais dentro do parêntese, onde, positivo para racional e negativo para comercial).


Desconto Racional:
A   =  N / (1 + i * n)

Desconto Comercial:
A = N * (1 - iD * n)

Simbologias:
Dr = desconto racional;
Dfdesconto por fora ou comercial;
iD= taxa de desconto;
N = valor nominal ou valor de face;
A = valor atual;
n = tempo ou períodos.

Exercícios de fixação:

Supondo a antecipação do pagamento de uma duplicata com valor nominal de R$ 1.000,00 dois meses antes do vencimento à taxa de 4 % ao mês. Sabendo que o banco utiliza o desconto comercial ou “por fora” simples, calcule o valor do desconto e o valor líquido do título.

Resolução:

N = 1.000
iD= 4% ao mês
Df  = ?
A = ?

Após colhermos os dados, logo passamos a perceber que não daria simplesmente para usar D = N – A, pois, não temos alguns desses valores conhecidos, mas, através de sua fórmula geral, é possível encontrarmos o valor atual, facilitando posteriormente, encontrarmos o desconto.

A = N * (1 - iD * n)  => Desconto comercial ou “por fora”.
A = 1.000 * (1 – 0,04 * 2)
A = 1.000 * (1 – 0,08)
A = 1.000 * 0,92
A = 920

Sendo o valor liquido ou o atual igual R$ 920,00 e, como temos o nominal, que é igual a 1.000,00, logo, podemos fazer a subtração e encontrarmos o valor do desconto:

Df = N - A
Df = 1.000 – 920
Df = 80

Resposta:

Desconto = R$ 80 e Valor líquido = R$ 920.

Poderia também desde o início, ter utilizado a fórmula Df = N *  iD * n para encontrar primeiramente o desconto e em seguida, subtrair o valor encontrado do valor nominal e assim, teríamos o valor atual.

Agora, usaremos o mesmo exemplo, porém, para desconto racional ou “por dentro”.

Resolução:

N = 1.000
i = 4% ao mês
Dr  = ?
A = ?

Aplicando esses dados já conhecidos na fórmula geral, teremos:

A   = N / (1 + i * n)
A   =  1.000 / (1 + 0,04 * 2)
A   =      1.000 / (1,08)
A = 925,93

Então:

Dr = N – A
Dr = 1.000 – 925,93
Dr = 74,07

Percebemos um atual maior que o atual pelo desconto por fora ou (comercial ou bancário) e, consequentemente, percebemos aqui, um desconto menor que no primeiro caso.

Isso acontece porque a taxa de desconto no comercial incide sobre o nominal que é um valor maior e assim gera um desconto maior. Já no desconto racional, a taxa incide sobre o valor atual, que é um valor menor que o nominal, gerando assim, um desconto menor.


Desconto composto

Como o nome já sugere, essa modalidade de desconto segue os critérios observados na capitalização composta. Sua aplicação se torna conveniente quando se trata de operações de longo prazo.

Ao observarmos suas fórmulas, a grande diferença mesmo, fica por conta do tempo ou período que, enquanto no desconto simples, multiplica a taxa, aqui, ela se torna expoente do parêntese.

Desconto racional composto

PV = FV / ( 1 + i )n
FV = PV * ( 1 + i )
Dr = FV - PV

FV = valor futuro → valor nominal da duplicata, valor de resgate, valor de face do título;
Dr = desconto racional ou por dentro;
PV = valor presente → valor líquido, valor descontado, valor atual → é o valor pelo qual foi negociado antes do vencimento após ter recebido o desconto;
i = taxa de desconto racional;
n = período.

Desconto comercial composto

A = N * ( 1 – iD )n
D = N – A

Exemplo:

Supondo que uma empresa tenha a receber de um cliente, uma duplicata com valor de face ou nominal, de R$ 20.000,00. 

Essa empresa deseja descontar essa duplicata usando o desconto racional, a uma taxa de juros compostos igual a 6% ao mês. Qual será o valor líquido a receber, sabendo que o prazo de antecipação é 90 dias?

Resolução:

FV = 20.000;
i = 6%;
n = 90 dias = 3 meses
PV = ? (atual)

FV = PV * ( 1 + i )n

20.000 = PV * ( 1 + 0,06 )3
20.000 = PV * ( 1,19 )
PV = 20.000 / 1,19
PV = 16.792,39

Na HP 12 C, digite:

f  Reg 
20.000   CHS   FV
3   n
6  i
PV
16.792,39 (resposta visor)

No Brasil, não temos aplicação prática para o desconto comercial composto e por isso foi mostrado apenas o exemplo com o desconto racional composto.

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