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domingo, 20 de dezembro de 2015

Taxa Equivalente no Regime de Juros Compostos

Taxa Equivalente referem-se a períodos de tempo diferentes, porém, ao serem aplicadas a um mesmo capital, observando-se o mesmo prazo, elevarão esse capital a um mesmo montante.


No regime de juros simples, as taxas proporcionais e as taxas equivalentes são consideradas a mesma coisa devido à linearidade desse regime de capitalização.

Porém, em Juros Compostos, essa proporcionalidade e equivalência não são a mesma coisa, onde, para os juros compostos, se verifica apenas as taxas equivalentes, já que os seus juros são calculados de forma exponencial.

Isso acontece porque, nos juros compostos, os juros de um período anterior, soma-se ao capital para formar o montante do próximo período (juros sobre juros).

Percebemos isso ao observar como ficará o fator de acumulação de um capital:



Supondo uma taxa de juros de 2% ao mês, durante 3 meses, no regime de juros simples daria um fator de acumulação de capital de 1,06. Já no regime de juros compostos, esse fator de acumulação de capital será um pouco maior que 1,06.

(1 + im)t
(1 + 0,02)3 => seria como se multiplicasse o valor do parêntese 3 vezes por ele mesmo:
1,02 * 1,02 * 1,02 = 1,061208.

Nos juros simples, como o tempo não é um expoente, essa taxa de 0,02 seria diretamente multiplicada pelo tempo e por isso o fator de acumulação seria apenas de 1,06:


Fator de acumulação = (1+ 0,02 * 3 ) = (1 + 0,06) = 1,06


Para se trabalhar com taxas equivalentes no Regime de juros compostos, vamos utilizar a estrutura abaixo:

(1 + ix) = (1 + iy)t


Onde:

x = taxa que se tem;
y = taxa para qual se quer converter;
t = períodos de tempo que relaciona a taxa que temos com a taxa que queremos.

Por exemplo: Supondo uma taxa anual de 26,824179%, qual a taxa equivalente mensal?

(1 + ix) = (1 + iy)t
(1 + 0,26824179) = (1 + im)12
(1 + im)12 = 1,26824179

Poderíamos tentar encontrar através do uso de logarítmicos ou utilizando uma tabela de fator de acumulação de capital.


No caso da tabela de fator de acumulação de capital, na linha n = 12, encontramos o valor 1,26824179 (fator a ser multiplicado pelo capital, quando for o caso) que, corresponde na linha "i", igual a 2%.



Outra maneira para se trabalhar com taxas equivalentes compostas é mostrada na figura abaixo:

Taxa Equivalente

taxa-equivalente-composta
Onde:

iq = taxa equivalente que iremos encontrar para taxa dada no problema;
i  = taxa dada no problema;
q = período de tempo da taxa que quero em relação ao período a taxa que tenho;
t = período da taxa que tenho em relação ao período da taxa que quero.

Por exemplo:

Tenho uma taxa de 26,824179% ao ano e queria encontrar a taxa equivalente mensal, no regime de juros compostos.

iq =[(1 + i)q/t ] - 1

Detalhes:

A taxa que tenho é de 26,824179% ao ano e como eu quero uma taxa equivalente mensal, tenho que entender que em um ano, há 12 meses.

Vamos substituir na formula dada:

iq =[(1 + 0,26824179)1/12] - 1
iq =[(1,26824179)1/12] - 1
iq =[1,02] - 1
iq =1,02 - 1
iq = 0,02
iq = 0,02 * 100  (lembrando que ao tratar de porcentagem, temos que multiplicar por 100)
iq = 2% ao mês


Vejamos exemplos utilizando o mesmo capital, taxa e tempo, porém, no primeiro caso, havendo apenas uma capitalização e no segundo caso, duas capitalizações.

Exemplo 1:

Um capital de R$ 2.000 é aplicado a uma taxa de 30% ao ano. No final de 1 ano, qual será o seu montante?

M = 2.000 (1 + 0,30)1
M = 2.000 * 1,30
M = 2.600

Na calculadora HP 12C
Digite:
2000  CHS  PV
30      i
1       n
FV

Vai aparecer no visor, R$ 2.600

Caso fosse feito também pelos juros simples, encontraríamos esse mesmo montante, mas, isso porquê, nesse caso, houve apenas uma capitalização, ou seja, a taxa anual e a capitalização anual, havendo apenas um período. Mas, mesmo quando diz que a taxa é anual, mas com capitalização semestral, os juros simples e juros compostos serão diferentes.

Isso porquê, sendo a taxa anual, mas, com a capitalização semestral e tempo de 1 ano, então, a capitalização vai ocorrer duas vezes.


Exemplo 2:

O mesmo capital de R$ 2.000 aplicado a uma taxa de 30% ao ano, mas, com capitalização semestral. No final de 1 ano, qual será o seu montante?

Detalhes:
Precisamos primeiramente encontrar a taxa equivalente composta semestral à 30% ao ano.

iq =[(1 + i)q/t ] - 1
iq =[(1 + 0,30)6/12] - 1 
iq =[(1,30)6/12 ] - 1
iq=[1,140175425 ] - 1
iq = 1,140175425 - 1
iq = 0,140175425
iq = 0,140175425 * 100 =  14,0175425% ao semestre

Na HP 12C digite:

1,3 (1 + taxa já na forma decimal) [ ENTER ]
6 (referente a semestral, que queremos) [ ENTER ]
12 (referente ao ano, que temos) [ ÷ ]
[ Yx ]
1 [ - ]
100 [ X ]

Agora, devemos aplicar na fórmula: 

M = 2.000 (1 + 0,140175425)2
M = 2.000 * (1,30)
M = 2.000 * 1,30
M = 2.600


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