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segunda-feira, 21 de dezembro de 2015

Taxa Efetiva, Taxa Nominal e Taxa Real de Juros

Taxa Efetiva, Taxa Nominal e Taxa Real

Há muitas taxas a serem consideradas quando se fala em taxa de juros. Conhecê-las e entender o momento de aplicação de cada uma é muito importante, tanto quando se toma emprestado de instituições financeiras ou quando você aplica seu capital em algum negócio.

Taxa Efetiva (ief )

Taxa que demonstra a real remuneração ou custo da operação percebida durante o somatório de todos os períodos da operação, ou seja, não interessa nenhum dos períodos de forma isolada.

Exemplo:


R$ 20.000 foram aplicados a uma taxa de juros de 2% ao mês (capitalização composta) durante 1 ano. No final, seu montante era de R$ 25.364,83. Nessa situação, qual a remuneração real ou (taxa efetiva) observada nessa operação?

Resolução:

Dessa forma, podemos resolver essa questão de forma simples, observando o quanto o capital aumentou, conforme a fórmula:

FV  -  PV
     PV

Onde:

FV = Valor futuro ou montante;
PV = Valor presente ou capital inicial.

25.364,83 - 20.000 = 0,2682415 ou 26,82%
          20.000

Veja que, por ser 2% ao mês e durante 1 ano (12 meses), poderia chegarmos a pensar, de forma equivocada, que teríamos uma taxa total de 24%.

Outra maneira de se fazer seria utilizando a fórmula conhecida para montante, em juros compostos, procurando a taxa de juros por ano. Nesse caso, em substituição aos 12 meses, teremos 1 ano, e já que temos valores conhecidos para o capital e o montante, ficará faltando apenas conhecer a taxa efetiva.

M = C * (1 + i)t
25.364,83 = 20.000 * (1 + ia)1

(1 + ia)1 = 25.364,83
                  20.000,00

(1 + ia)  = 1,2682415                (o número 1 que tava somando, passa subtraindo)
ia= 1,2682415 - 1
ia = 0,2682415                      (deve ser multiplicado por 100, por tratar-se de porcentagem)
ief = 0,2682415 * 100 = 26,82%

Veja sobre taxas equivalentes clicando aqui.

Taxa nominal

É aquela que não vem indicando a taxa efetiva, mas, que traz essa taxa efetiva implícita, sendo essa taxa nominal, aquela bastante utilizada no mercado.

Por exemplo:

Quando se diz que a taxa da caderneta de poupança é de 6% ao ano, capitalizada mensalmente, demonstra ser esta, uma taxa nominal, quando diz, capitalizada mensalmente. 

Assim, quando vier expressamente que a taxa é nominal, ou, quando diz que é uma taxa de tantos % a tal período, capitalizada a outro período, também é entendida como sendo nominal.

Exemplos:
  • 24 % ao ano, capitalizados mensalmente;
  • 36% ao ano, capitalizados semestralmente.

Exemplo: Encontrando a taxa efetiva a partir da taxa nominal

Supondo que um capital de R$ 50.000 foi aplicado a uma taxa de 12% ao ano com capitalização trimestral. Qual será a taxa efetiva?

Resolução:

Percebemos que o dinheiro irá ser capitalizado 4 vezes, já que o ano possui 4 trimestre. 

Então, dividimos a taxa pelo número de trimestres aos quais o dinheiro ficará aplicado.

12% / 4 = 3% ao trimestre.

C = 50.000
i = 12% ao ano = 3% ao trimestre (nominal)
t = 1 ano = 4 trimestre
Taxa Efetiva?

Como a questão pede apenas a taxa efetiva, podemos encontrá-la tanto por uma forma genéria apresentada abaixo, ou então, calcularmos o montante e em seguida, dividirmos os juros pelo capital e multiplicarmos por 100.

ief  = (1 + i)t - 1                 ou             M = C * (1 + i)t

ief  = (1 + i)t - 1
ief  = (1 + 0,03)4 - 1
ief  = 1,125508810 - 1
ief  = 0,125508810 (devemos multiplicar por 100)
ief = 0,125508810 * 100 = 12,55% (taxa efetiva)

M = C * (1 + i)t

M = 50.000 * (1 + 0,03)4
M = 50.000 * (1,03)4  => poderá multiplicar 4 vezes por ele mesmo ou usar a calculadora = 1,1255
M = 50.000 . 1,125508810 
M = 56.275,44

Ao aplicarmos o montante e o capital na fórmula abaixo, vamos encontra essa taxa efetiva, de 12,55%.

FV  -  PV
     PV

Taxa Real


Essa taxa real ou taxa de remuneração do capital, desconta a taxa de inflação.

Taxa-Real
Claro que a taxa normalmente adotada nas operações correntes de mercado é a taxa nominal e, nesta taxa nominal, inclui-se os efeitos da inflação conforme seu prazo a que esteja vigorando. Dessa forma, já dar pra perceber que a taxa nominal não irá refletir o real valor que se deve receber ou pagar.

É através da Taxa Real de Juros que chegamos aos valores pagos ou recebidos.

Então, para encontrarmos a taxa real de juros, a qual desconta a taxa de inflação, seguiremos a fórmula:

I = 1 + i    - 1
     1 + inf

Onde:

I = taxa real;
i = taxa nominal;
inf = taxa de inflação.

Exemplo - Ganho nominal x Ganho real

Um capital de R$ 15.000,00 produziu em 1 ano, o montante de R$ 18.000,00, tendo nesse período, uma inflação acumulada de 12%. Qual a taxa real de juros?

Aplicando a fórmula

I = 1 + i   -1
     1 + inf

Como os juros foram de R$ 3.000, dividindo-se pelo capital inicial, de 15.000, o ganho nominal, forma de taxa, no valor decimal.

Ganho Nominal = 3.000 / 15.000 = 0,20 ou 20%

Com isso, poderemos trabalhar na fórmula para taxa de Real de Juros (I).

I = 1 + 0,20   - 1
      1 + 0,12

I = 1,20  -1
      1,12

I = 1,0714 - 1

I = 0,0714 ou 7,14% (Taxa real de juros)

Nesse caso, houve um ganho real de 7,14% que, corresponde de 15.000, R$ 1.071.

Quanto mais a inflação aumentar, sem que aumente a taxa nominal, esse ganho tende a diminuir, ou do contrário, o ganho tende a aumentar.

Outro exemplo:

Supondo uma aplicação de R$ 30.000 durante 12 meses e com uma taxa nominal anual de 24%, sendo observada uma inflação acumulada nesse mesmo ano, de 17%. Qual a taxa real anual e a sua equivalente mensal?

Resolução:

Como já sabemos que foi a taxa anual de 24% e durante os 12 meses que gerou o ganho nominal, então, vamos colocá-la em seu valor decimal e usá-la na fórmula para taxa real. Também usaremos a taxa de inflação do período, que é de 17%.

I = 1 + 0,24   - 1
      1 + 0,17

I = 1,24   - 1
      1,17

I = 1,059829 - 1
I = 0,059829
I = 0,059829 * 100 = 5,98% ao ano

Para saber a taxa equivalente mensal a essa taxa real encontrada, devemos usar a fórmula já apresentada em aula passada:
Assim, a taxa que deve ser colocada dentro desse parêntese, é a taxa real encontrada, no seu valor decimal.

iq  = [(1 + i)q/t- 1
iq  = [(1 + 0,059829)1/12] - 1
iq  = [(1,059829)1/12] - 1
iq  = [(1,059829)1/12] - 1
iq  = 1,004854 - 1
iq  = 0,004854
iq  = 0,004854 * 100 = 0,49% ao mês
     
Assim:
Taxa real anual = 5,98%
Taxa real mensal = 0,49%

Considerações finais:

Enquanto a taxa bruta leva em conta o valor da aplicação e o valor do resgate bruto (ainda não descontado o imposto de renda e outros), a taxa líquida considera esse valor da aplicação e também o valor de resgate, porém, com esse último, líquido dos descontos, até porque, tributos como o imposto de renda, já são retido na fonte.

Taxa prefixada / Pós-Fixada

Como diz nos seus nomes, percebemos que na primeira, já sabemos o quanto haverá de rendimento, ao passo que na segunda, somente no fim do período. No Prefixado, observa-se a operação sendo realizada com juros estáveis, onde é considerada a inflação do período mais o ganho da instituição financeira e uma margem de garantia devido às possíveis eventualidades que poderão acontecer por conta da oscilação da economia.

No Pós-fixado, opera com taxas menores, as quais representam os juros. Nesse tipo de operação, os fatores citados acima como os riscos com a oscilação da economia e também do vai e vem da inflação, ficarão atrelada ao devedor, ou seja, só se saberá mesmo qual o valor real, após findar o prazo para pagamento/recebimento, parcela, etc.

Ainda que muitas vezes, essa parte fixa venha a demonstrar que poderá ser menos oneroso ou mais lucrativo, pode ser que esse ganho não se concretize devido à parte variável, cuja, não se sabe, até o momento exato, levando a uma perca por conta das oscilações de alguns fatores no pós-fixado.

Para minimizar esses riscos, é preciso conhecer esses detalhes ou consultar alguém de confiança que possa esclarecer sobre isso, pois, o risco existe.

Manoel Oliveira
Matemática Financeira

Praticando:

Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado por 1 ano por uma taxa que ainda não sabemos, mas, que no final desse período foi constatado um montante igual ao que irá produzir esse mesmo capital, quando aplicado à taxa composta de 2% ao mês. Qual foi a taxa do capital aplicado por um ano?

Detalhes:

I = ? (anual)
C = 20.000
t = 1 ano = 12 meses
i = 2% (mensal)

Nesse caso, por ser o mesmo capital, bastaria que igualar as as taxas conforme a fórmula para cálculo centesimal, levando-se em consideração, taxa e tempo de um e também a taxa e tempo de outro, em suas grandezas.

(1 + im)t  = (1 + ia)t

De um lado temos uma taxa mensal de 2%. Do outro temo uma taxa anual, mas, em 1 ano, como já dizia o problema. Nesse esta taxa mensal de 2% deverá ter seu tempo de 12 meses, pois, do outro lado, temos 1 ano.

(1 + 0,02)12   = (1 + ia)1  (na tabela de fator de acumulação, na linha n=12 e i = 2%, temos 1,2682)
1,268241795 = 1 + ia
ia = 1,268241795 - 1
ief = 0,2682417952 = 26,82%

Assim, concluímos que, por exemplo, ao pegarmos um capital de R$ 20.000 e aplicarmos sobre ele uma taxa de 26,8241795% uma única vez, o resultado será o mesmo que aplicado sobre esse mesmo capital, uma taxa composta de 2% ao mês durante 12 meses.

Vejamos:

M = C * (1 + i)t
M = 20.000 *(1 + 0,268241795)  =>(anual, em 1 ano)
M = 20.000 *1,268241795
M = 25.364,84

Com 2% ao mês e durante 1 ano (12 meses)

M = C * (1 + i)t
M = 20.000 * (1 + 0,02)12  => (tabela de fator de acumulação ou calculadora)
M = 20.000 * 1,268241795
M = 25.364,84

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