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segunda-feira, 7 de dezembro de 2015

Revisão de Equações e Sistemas de Equações

Nesse artigo, faremos uma revisão de Equações, Inequações, Sistemas de Equações.


Equações do primeiro Grau


Chamamos equação do primeiro grau na incógnita x, no universo real, toda equação redutível à forma: ax = b, quando a e b são números reais quaisquer e, com a diferente de zero.

Para resolvermos de uma forma bem simples uma equação desse tipo, basta dividirmos ambos os membros por "a":


Equações

Exemplo:


7x + 6 = 4x – 6
7x – 4x = -6 – 6
3x = -12
X = -12/3
X = -4 


Outro exemplo:

2x - x = 6(x-2) => Há várias maneiras de fazer e, uma delas, está demonstrado na figura a baixo.
3    5


Equações-do-primeiro-grau

Após o MMC de 3, 5 e 1 (denominador do segundo membro) = 15, este, é dividido pelos mesmos valores que lhe deram causa e o seu resultado, multiplicado pelo valor numérico a frente de x e de y e também pelo 6, no segundo membro.

Depois de utilizar o valor do MMC, conforme explica acima, o mesmo já pode ser eliminado, nos dois membros, pois assim, permanecerá a igualdade.No terceiro passo, deve-se fazer a redução dos termos semelhantes e em seguida deixar n primeiro membro todas que tiverem incógnitas, lembrando de fazer a troca de sinal para trocar de membro.


Sistema de Equações


Sistema-de-Equações
Sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas, x e y, são assim chamados, todo sistema de equações do tipo da figura ao lado, em que a, b, c, d, m, n são números quaisquer.

Substituindo "a" no lugar de x e "b" no lugar de y e as duas equações tornarem-se sentenças verdadeiras (isto é, igualdades numéricas), então, podemos dizer que o par ordenado (a;b) é solução do sistema.

Geralmente sua resolução se dois por dois métodos bem conhecidos, veja: 

1º - Método da Substituição

Deve-se isolar uma das incógnitas de numa das equações e em seguida, usa o valor encontrado a partir desse isolamento, usando-o para substituir a expressão na outra equação.


Isolando uma incógnita:


Sistema-de-equações-por-substituição

Perceba que ao isolar a primeira equação, seu resultado foi 8-x que, logo foi substituído pelo Y da equação seguinte, encontrando os valores de X e de Y.

Outro exemplo:


Sistema-de-equações-do-primeiro-grau

Esse exemplo será utilizado para os três métodos e devemos encontrar sempre os mesmos valores.

Isolando "X" na primeira equação:

3x + 2y = 12
3x = 12 -2y
x = 12 - 2y /3

Agora vamos substituir o valor de X = [(12 - 2y / 3)], na segunda equação

5x - 3y = 1
5 [(12 - 2y / 3)] - 3y = 1

60 - 10y - 3y = 1
    3

MMC
60 - 10y - 3y = 1 => MMC de 3, 1,1 = 3 (deve ser dividido pelos denominadores e multiplicado seu
     3                            resultado pelos denominadores e em seguida, eliminado.)


60 - 10y - 9y = 3
-19y = -57
y = -57 / -19 = 3


Sendo y = 3, basta substituir em qualquer das equações para encontrar o "X":

1ª equação:

3x + 2y = 12 => substituindo y
3x + 2*3 = 12
3x + 6 = 12
3x = 12 - 6
x = 6/3 = 2

S {2;3), respectivamente para x e y.

Mais abaixo, quando mostrado o método da adição, utilizei essa mesma equação pelo método da adição, encontrando o mesmo conjunto solução.

2º - Método da Adição

Adicionamos membro a membro as equações de modo a anular uma das incógnitas.


Sistema-de-equações-por-adição

O objetivo é eliminar uma das incógnitas e perceba que foram eliminados o X e que, poderia também ter feito logo o -2y + 3y e resultando apenas "y" = 5

Após reduzir a uma incógnita e encontrar seu valor, passa-se a substituir o "Y" que houver na outra equação por esse valor encontrado.

Outro exemplo:


Sistema-de-equações-do-primeiro-grauHaverá situações em que será preciso algum tipo de modificação em uma ou nas duas equações para que seja possível eliminar uma das incógnitas durante a adição.

Nesse sistema, podemos observar que do modo como se apresenta, não será possível a eliminação caso faça desde já adição.

Percebemos também que ao menos o y, tem sinal contrário. Nós podemos modificar e sem alterar o seu resultado ao fazer uma multiplicação inversa, ou seja, no valor do "Y", podemos multiplicar o 2 do "Y" acima, pela equação de baixo e, multiplicarmos o 3 do "Y" de baixo pela equação de cima. 

Essas multiplicações serão realizadas sem a troca de sinais.

3x + 2y = 12 (*3)
5x - 3y = 1    (*2)

9x + 6x = 36
10x - 6y = 2


19x = 38 = x = 38/19 =2

Sendo "X" igual 2 e substituindo em uma das equações encontraremos o "Y".

1ª) 

3x + 2y = 12
3*(2) + 2y = 12
6 + 2y = 12 => 2y = 12 -6 => y = 6/2 = 3

S {2;3}

Para que seja tirado a prova, esses valores que representam x e y respectivamente, podem ser substituindo em qualquer das equações e mantendo a igualdade:

Sistema-de-equações-do-primeiro-grau
=> 3(2) + 2(3) = 12 => 6 + 6 = 12 => 12 = 12=> 5(2) - 3(3) = 1 => 10 - 9 = 1 => 1= 1

3º - Método da comparação


Sistema-de-equações-do-primeiro-grauIsolando o "X" em cada uma das equações e depois fazendo uma nova equação ao igualar seus valores.


1ª) 3x + 2y = 12
     3x = 12 - 2y
     x = 12 - 2y/3
) 5x - 3y = 1
      5x = 1 + 3y
      x = 1 + 3y/5


Agora vamos igualar esses valores de "X" e encontrar o real valor de "Y" nessas equações:

12 - 2y = 1 + 3y => deve-se multiplicar os extremos e meios.
    3             5

3 + 9y = 60 - 10y
9y +10y = 60 - 3
19y = 57
y =  57/19 = 3

Encontrado "Y", devemos substitui-lo em qualquer das equações para encontrarmos o real valor de "X".

1ª) equação

3x + 2y = 12
3x + 2(3) = 12
3x = 12 - 6
x = 6/3 = 2

S{2; 3}, x e y respectivamente.

Como podemos observar, esse mesmo sistema de equações foi utilizado como modelo nos três métodos e, seus valores, sempre foram os mesmos.

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