Contabilidade e Matemática para Negócios e Concursos

sexta-feira, 11 de dezembro de 2015

Juros Compostos

No regime de capitalização composta, ou regime de juros compostos, caso os juros não sejam pagos no final de cada período, eles serão calculados de forma acumulativa, sendo incorporados ao capital, formando o montante (capital mais juros) do período.

Para o próximo período, os juros serão sobre esse montante. Diferentemente do que acontece nos juros simples, nos juros compostos teremos o que se chama de “Juros sobre juros”

Fórmula para resolução de juros compostos

 FV = PV * (1+i)n

Onde:

n = número de períodos (anos, semestres, trimestres, meses, dias);
i = taxa de juros;
PV = Presente value - valor presente, capital inicial aplicado (C);
FV = Future value - valor futuro, montante - no final de n  períodos  (M)

Para solucionar problemas com juros compostos, devemos colher os dados, verificar se a taxa e o tempo estão na mesma grandeza e, caso não estejam, devemos fazer com que isso ocorra e em seguida jogá-los na fórmula dada. A diferença dessa fórmula para aquela dos juros simples, é em relação ao tempo, pois aqui, esse, não se multiplica pela taxa e sim será o expoente desse parêntese.

Exemplo 1 -  Resolvendo pela maneira tradicional

Uma pessoa contrai um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 por um prazo de 3 meses, com uma taxa de 10 % ao mês, no regime de juros compostos. De quanto será o valor do montante e dos juros ao final do período? 

M = ?;
J = ?;
t = 3 meses;
i = 10% ao mês.

Como a taxa e tempo já estão na mesma grandeza (mês), então, é só jogarmos na fórmula:

FV = 1.000 * (1 + 0,10)3  => o expoente 3 indica quantas vezes o valor do parêntese deve ser
FV = 1.000 * (1,10)3             multiplicado por ele mesmo
FV = 1.000 * 1,331
FV = 1.331

Sendo o montante de 1.331, então, os juros é a diferença entre esse montante e o capital inicial ou PV (Presente value - Valor presente), ou seja:

J = 1.331 - 1.000 = 331

Na HP 12C, digite:

 REG
1000   CHS  PV
3   n
10   i
FV  

Vai aparecer no visor o montante de 1.331,00.

Exemplo 2 - Usando uma tabela de fator de acumulação de capital

Uma pessoa terá que efetuar um pagamento daqui a 2 anos no valor de R$ 5.000 em virtude de um empréstimo contratado na data de hoje. Sobre esse empréstimo incidirão 3,5% ao mês como taxa de juros. Conforme os dados fornecidos, qual foi o valor recebido por essa pessoa quando do momento do empréstimo?

PV = ?;
FV = 5.000;
t = 2 anos = 24 meses;
i = 3,5% ao mês.

5.000 = PV * (1 + 0,035)24 
5.000 = PV * (1,035)24
5.000 = PV * 2,2833 
PV = 5.000 / 2,2833
PV = 2.189,81

Essa pessoa recebeu aproximadamente R$ 2.189,78.

Nessa tabela abaixo, é possível encontrar o fator de acumulação para taxas de 1 a 5% e do mês 1 ao 30. No caso do exemplo, foi tempo = 24 e i = 3,5%. (circulado em vermelho).


Juros-Compostos-tabela-de-fator-de-acumulacao-de-juros-compostos

Exemplo 3 - Usando logaritmos

Supondo que um empréstimo de R$ 10.000 foi feito para ser liquidado em uma única parcela de R$ 18.000. A taxa de juros composta sobre o capital emprestado é de 4% ao mês. Nessas condições, qual seria o prazo para pagamento?

Dados:
log1,04 = 0,0170
log1,8 = 0,2553

18.000 = 10.000 * (1 + 0,04)t
18.000 = 10.000 * (1,04)t
(1,04)t = 18.000 / 10.000
(1,04)= 1,8  => 3ª propriedade dos logaritmos
log(1,04)= log1,8 => O expoente "t" passa multiplicando o log1,04
t*log 1,04 = log 1,8

0,0170t = 0,2553
t = 0,2553 => t = 15 meses
     0,0170

Para encontrar os dados dos logaritmos fornecidos na questão, através da HP 12C, digite: (usando ao menos 4 casas decimais)
1,04  g   LN (vai aparecer no visor, 0,0392);
10   g   LN  ÷ (vai aparecer no visor, a nossa resposta, 0,0170)

Para o segundo membro, digite:
1,8   g   LN (vai aparecer no visor, 0,5878);
10   g   LN  ÷ (vai aparecer no visor, a nossa resposta, 0,2553)


Para inserir normalmente os dados e obter esse tempo igual a 15 pela calculadora HP 12C rapidinho, digite:

10.000   CHS  PV;
18.000   FV;
4   i;
n.

Vai aparecer no visor o número 15, que representa o tempo em meses.

Exemplo 4 - Resolvendo radicais na hp 12C:

Qual deverá ser a taxa mensal de juros necessária para um capital de R$ 3.000,00 produzir um montante de R$ 5.000,00, durante 1 ano e 2 meses, no regime de juros compostos?

Colhendo os dados:

PV = 3.000;
FV = 5.000;
n = 1 ano e 2 meses = 14 meses;
i =?

FV = PV x (1+i)n

5.000 = 3.000 * (1+ i)14
3.000 * (1+ i)14 = 5.000
(1+ i)14 = 5.000 / 3.000
(1+ i)14  = 1,6667
14(1+ i)14  141,6667
14(1+ i)14  141,6667
1 + i = 141,6667                       (resolvendo o radical na hp 12C)
1 + i = 1,0372
i = 1,0372 -1
i = 0,0372
i = 0,0372 * 100 = 3,72%

Para encontrar o valor do radical acima na HP 12C, e qualquer outro valor com radical, siga o mesmo procedimento, digitando:

5000 [ENTER]
3000 [÷]  (vai ver no visor 1,6667)
14 [1/x] [yx]
1 [-]
100 [x]

vai aparecer no visor 3,72, que é a taxa ao mês.

Esse 14 significa a qual raiz se deseja.

A outra maneira mais comumente utilizada para encontrar essa taxa seria:

3000 [CHS] [PV]
5000 [FV]
14 [n]
i

Vai aparecer no visor o valor de 3,72 (referente à taxa mensal);

Praticando:

Questão do exame de suficiência para Bacharel em Ciências Contábeis de 2011.1

31 - Um gestor de empresa tem três cotações de preços de fornecedores diferentes, da mesma quantidade de uma determinada matéria-prima, nas seguintes condições de pagamento:

Fornecedor A R$3.180,00 para pagamento à vista
Fornecedor B R$3.200,00 para pagamento em 1 (um) mês
Fornecedor C R$3.300,00 para pagamento em 2 meses

Considerando as condições de pagamento e um custo de oportunidade de 1% (um) ao mês, é mais vantajoso adquirir a matéria-prima:

c) do Fornecedor A.
b) do Fornecedor B.
c) dos Fornecedores A ou C.
d) dos Fornecedores B ou C.

Resolução: 

Aquele pago não terá nada a ser feito. O segundo e o terceiro deverão ser trazidos a valor presente.

Fornecedor A:
VP = 3.180,00

Fornecedor B:
VP =   3.200      = VP = 3.168,32
        (1 + 0,01)1

Fornecedor C:
VP =    3.300     =    3.300     = VP = 3.234,98
        (1 + 0,01)2       (1,0201)

Comprar do fornecedor B é a melhor opção.

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