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segunda-feira, 7 de dezembro de 2015

Função Quadrática, Função Receita Quadrática e Função Lucro Quadrática

Foi visto em artigo passado sobre função afim (do 1º grau). Agora veremos os mesmos assuntos, porém, com Função Quadrática, Função Receita Quadrática, Função Lucro Quadrática (todas do 2º) que, também são aplicadas em negócios.

Função Quadrática


Lei de formação que define uma função do 2º grau:

f(x) = ax² + bx + c 
Ou
 y = ax² + bx + c

Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
EXEMPLOS

y = f(x) = x2 + 3x – 1 é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = –1.
y = f(x) = –x2 + 5 é uma função quadrática com a = –1 e b = 0 e c = 5.
y = f(x) = –2x2 + 4x é uma função quadrática com a = –2 e b = 4 e c = 0.
y = f(x) = xé uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c = 0.

Situações em que vai mudando a posição da parábola:

A) Quando a função do 2º grau apresentar duas raízes reais e distintas, o eixo das abscissas (x) será intersectado pela parábola em dois pontos.

y = ax² + bx + c

Função-quadrática-Parábola-cortando-eixo-de-X-das-abcissas
B) Quando a equação do 2º grau apresentar uma única solução, ou seja, apenas uma raiz real, nesse caso, a parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.

y = ax² + bx + c


Função-quadrática-Parábola-cortando-eixo-de-X-das-abcissas-com-uma-raiz

C) Quando a equação do 2º grau não possuir soluções reais, dizemos que a função do 2º grau não intersecta o eixo das abscissas (x).

y = ax² + bx + c


Função-quadrática-Parábola-cortando-eixo-de-X-das-abcissas-sem-raiz-real


PONTOS NOTÁVEIS DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU


O ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo de um gráfico são indicados pelo vértice da parábola. Assim sendo, os pontos serão definidos conforme abaixo, de acordo com o valor do coeficiente "a".

Quando o valor do coeficiente "a" for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo
Funções-quadráticas-com-a-menor-que-zero

Quando o valor do coeficiente "a" for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.
Funções-quadráticas-com-a-maior-que-zero



O valor do coeficiente "c" na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta.

y = ax² + bx + c

Coeficiente-C

Para memorizar, vamos observar um pouco mais na figura abaixo:



Posição-da-parábola

NÚMERO DE RAÍZES DA EQUAÇÃO DE 2º GRAU
A fórmula de Bhaskara é aquela que usamos para resolver uma equação de 2º grau.

Fórmula-de-Baskara
O número real D é o discriminante da equação. Se a função terá ou não raízes reais, dependerá do valor do que chamamos de DELTA (D).

Veja:

D > 0 ⇔ tem duas raízes reais distintas.
D = 0 ⇔ tem duas raízes reais iguais (ou 1 raiz real dupla).
D < 0 ⇔ não tem raízes reais.
Exemplo 1: 

y = 3x2 – x – 2


O discriminante da função é:

D = b2 – 4ac ⇒  D = (–1)2 – 4.3.(–2)⇒  D = 25
X' = 1+5/2.3 ⇒ 6/6 ⇒ 1
X" = 1-5/2.3 ⇒ -4 / 6 ⇒ -2/3
Raízes: x’ = 1 ou x” = –2/3

⇒  A parábola corta o eixo x em (1, 0) e (–2/3, 0) 
Sendo o a > 0, a concavidade da parábola ficará voltada para cima.
Com o coeficiente c =–2, a parábola deverá cortar o eixo y no ponto (0, –2) 

Veja o gráfico da função y = 3x2 – x – 2

Para obtermos o X do vértice, devemos utilizar a forma abaixo, ou seja, -b/2a.

x-do-vértice

Para obtermos o Y do vértice,  devemos utilizar a fórmula=> -Δ/4a.


Veja a colocação de Xv e Yv no gráfico, quando o valor de "a" é menor que zero:

 Função-quadrática-parábola
 Função-quadrática-parábola-1
 Função Quadrática

Exemplo 2:

y = x2 + 2x + 3

O discriminante da função é
D = b2 – 4ac ⇒  D = (2)2 – 4.1.(3)⇒  D = –8
  1. D< 0, a função não tem raízes reais, logo a parábola não corta o eixo x.
  2. Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
  3. O coeficiente c = 3, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, 3) 
Veja o gráfico da função y = x2 + 2x + 3 
x-do-vértice-nesse-exemplo
Função Quadrática

x-do-vértice-representado-no-gráfico-para-este-exemplo


Valores-de-x-e-de-y-para-esse-exemplo


Exemplo 3:

f(x) =  - 4x – 5

Solução:

 - 4x – 5 = 0
D = b2 – 4ac ⇒  D = (-4)2 – 4.1.(-5)⇒  D = 36

Tendo o ∆ > 0 a função tem dois zeros reais. Então:
Sendo o D = 36, sua raiz quadrada é (=6, -6).
X' = 4+6/2.1 ⇒ 10/2 ⇒ 5
X" = 4-6/2.1⇒ -2 / 2 ⇒ -1

Dessa forma, podemos dizer que os zeros da função são (1 e 5).
Exemplo 4:  

y =  - 2x + 6

Resolução:
D = b2 – 4ac ⇒  D = (-2)2 – 4.1.(6)⇒  D = -20

Temos como resultado -20 que é menor que zero. portanto, se temos ∆ < 0, a função não tem zero real.
Função Quadrática

FUNÇÃO RECEITA E LUCRO QUADRÁTICA

A função R(x) =  – x, representa a venda mensal (Receita) de x unidades de um certo produto por um fabricante. Supondo que o custo da produção seja dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente para que se tenha o lucro máximo? 

Como vimos em artigo passado, a função L(x) (lucro) é igual à função R(x) (Receita) menos a função C(x) (custo). Sendo assim, temos:

L(x) =   R(x)   –   C(x)
L(x) = – x – (2x² – 7x + 8) 
L(x) =  – x – 2x² + 7x – 8 
L(x) = –  + 6x – 8 

O número de unidades vendidas mensalmente para se obter o lucro máximo será determinado por Xv.

L(x) = –  + 6x – 8
Xv= -b/2a => -6/-2 => 3


Dessa forma, teremos o lucro máximo após 3 unidades serem vendidas.

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2 comentários:

  1. Claudia Bulamarque15 de maio de 2016 02:57

    Como eu vou saber o valor máximo ou mínimo da parábola?

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  2. Nesse Caso, observe valor do coeficiente "a". Valor mínimo quando "a" > 0 e valor máximo quando "a" < 0. Outra coisa é quanto aos vértices de X e de Y, pois é no ponto de intersecção entre eles onde a curva da parábola vai encostar, determinando o seu valor máximo ou mínimo.

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