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segunda-feira, 7 de dezembro de 2015

Função Afim ou do 1º Grau

Seguindo com os assuntos dentro de matemática básica, vamos ver um pouco sobre: Função Afim, Função Linear, Função Crescente, Função Decrescente.

Estudo de Funções

As relações são formadas de pares ordenados de números a partir do momento em que os conjuntos A e B são numéricos.
  • Chamamos de um par ordenado de números ao conjunto formado por dois números em uma certa ordem.
  • Tendo um par ordenado (a,b), “a” será o primeiro elemento do par e, “b”, o segundo.
  • Geometricamente, dois eixos perpendiculares podem representar um par ordenado de números reais, onde o horizontal é chamado eixo das abscissas, ou eixo x, e o vertical de eixo das ordenadas, ou eixo y.
Eixos perpendiculares representando um par ordenado:
Função-afim-Eixo-xy
  

O ponto “p” representa um par ordenado. O valor de x sempre virá em primeiro. 
Função-afim-Quadrantes


Função-afim-Estudo-de-Funções
Perceba no gráfico que, o “0” ao centro, está para os dois eixos e que, olhando pra ele, percebemos que, no caso de “y” seus valores positivos encontra-se acima e seus valores negativos encontram-se abaixo. No caso do eixo “x”, temos seus valores positivos à direita e seus valores negativos à esquerda.
Qualquer ponto formado a partir do plano cartesiano será constituído por dois valores, sendo 1 pertencente a x (abcissa) e outro pertencente a y (ordenada).

Função Afim ou do 1º Grau

É aquela cuja sentença for dada por y = ax + b, onde, f(x) = y ,com a e b sendo constantes reais, com m diferente de zero. É possível observar em um grande número de aplicação, a  presença desse tipo de função.
O gráfico de uma função de primeiro grau é uma reta (linear). Dessa forma, o gráfico pode ser obtido por meio de dois pontos distintos.
Da sentença y = ax + b, a constante “a” é chamada coeficiente angular e, quando a > 0, o gráfico corresponde a uma função crescente; quando a < 0, o gráfico corresponde a uma função decrescente.
Já a constante “b” é chamada coeficiente linear e representa, no gráfico, a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo y. Nesse caso, pode-se dizer que “b” é o ponto onde a reta vai cortar o eixo “y” e que, dessa forma, já tendo esse ponto, bastaria agora, encontrarmos o outro ponto, já que são apenas dois.

DOMÍNIO E IMAGEM

Em sentenças do tipo y = f(x) onde x e  y são variáveis numéricas e, não sendo citado o domínio, convenciona-se que o mesmo seja formado por todos os valore reais de “x” para os quais existam as respectivas imagens y.

FUNÇÃO CRESCENTE


Uma função “f” é crescente em um intervalo [a,b] quando, dentro do intervalo, haja um aumento das imagens correspondentes, na medida que for aumentando o valor de “x”.

Função-afim-Função-Crescente

FUNÇÃO DECRESCENTE 


Uma função “f” é decrescente em um intervalo [a,b] quando, dentro do intervalo, conforme vá aumentando o valor de “x”, as imagens correspondentes vão diminuindo (contrário àquilo observado na função crescente).

Função-afim-Função-Decrescente

FUNÇÃO DO 1º GRAU CRESCENTE (a > 0)

Supondo a função y = 2x + 7, que é o mesmo que f(x) = y, que é o mesmo que f(x) = 2x + 7 e que é representado pela expressão: y = ax + b.

Se quiséssemos traçar uma reta em um gráfico para representar a função afim (1º grau) acima, já saberíamos o seguinte: que “7” é um dos dois ponto por onde a reta irá passar.
Sabemos disso porque observando na expressão que representa essa função, y = ax + b, esse 7 é representado pelo “b” (chamada coeficiente linear). Então, já marcamos o ponto “7” no eixo “y” e passamos o procurar o outro ponto.
Nesse caso, para encontrarmos o outro ponto, basta pegarmos o “y” nessa expressão e o igualarmos a “zero”, resolvendo em seguida a equação, veja:
y = 2x + 7 => 0 = 2x + 7
-2x = 7
x =7/-2
x = -3,5
Dessa forma nosso ponto de intersecção será p (-3,5; 7). Veja na figura abaixo.

Função-afim-Par-ordenado-representado-na-reta

Observe que o valor de “a” na expressão y = 2x + 7 é igual 2, portanto, a > 0 e, dessa forma temos uma função crescente, verificada pela posição da reta.

FUNÇÃO DO 1º GRAU DECRESCENTE (a < 0)

Vamos agora fazer o mesmo com essa outra função: y = –2x +5. O maior diferencial aqui, em relação à anterior, é o valor de “2”. Se o valor de a = -2, então, a < 0 , o que irá mudar radicalmente a posição da reta.
Como nessa função, o nosso “b” é igual a 5, então já temos o ponto da ordenada “y” por onde passará a reta. Vamos encontrar agora o outro ponto, procedendo da mesma maneira, ou seja, reescrevendo a função, porém, com “y” igual a “zero”.
y = –2x +5 => 0 = –2x +5
2x = 5
x = 5/2
x = 2,5
Função-Afim-ou-do-1º-Grau-Par-ordenado-representado-na-reta-com-função-decrescente

RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU

Ao considerarmos “y” igual a “zero” podemos determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau. Com base no gráfico, no momento em que y assume valor igual a zero, a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz ou o zero da função. Exemplo:
y = 2x + 5
y = 0
2x + 5 = 0
2x = –5
x = -5/2
x = –2,5
A reta representada pela função y = 2x +5 intersecta o eixo x no valor: –5/2 ou -2,5

FUNÇÃO CUSTO É UMA FUNÇÃO AFIM

Função Custo de produção, assunto visto no artigo passado é uma Função Afim, então, vamos ver esse exemplo que já foi visto anteriormente.

Para exemplificar, vamos supor que o custo fixo mensal de fabricação de um produto seja de R$3.000,00 e o custo variável por unidade seja de R$ 9,00

Então, olhando para a fórmula da função custo total da figura ao lado, vamos pegar os dados do problema e substituir na fórmula:

 =>  C(X) = 9x + 3.000 (função custo total)
Função Custo - O gasto fixo é de 3.000


Função Custo =  Função Afim
C(X) = 9x + 3.000              f(X) = 9x + 3.000
Percebe-se assim que a função custo é realmente uma função afim (1º grau).
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